MPSI B Année 2015-2016. DS 5 le 22/01/16 29 juin 2019
Exercice. Sous-groupe centralisateur.
Dans cet exercice G désigne un groupe dont l'opération est notée multiplicativement : pour tousaetbdeGle produit deaparbest simplement notéab. On ne suppose pas que le groupe soit commutatif.
Pour une partieAdeG, on appelle centralisateur deAla partieC(A)deGdénie par :
∀x∈G, (x∈ C(A)⇔ ∀a∈A, ax=xa).
Dans la suite de l'exercice, quand on demande de comparer deux parties deG, il s'agit de prouver une inclusion entre ces deux parties.
La partieAdeGest xée pour la suite de l'exercice.
1. Montrer queC(A)est un sous-groupe deG.
2. SoitX et Y deux parties deGtelles queX ⊂Y. ComparerC(X)etC(Y). 3. SoitX une partie quelconque deG, comparerX etC(C(X)).
4. Montrer que
C(C(C(A))) =C(A)
Problème. Postulat de Bertrand
L'objet de ce texte est de démontrer une forme aaiblie du postulat de Bertrand1. Il existe un entier n0, tel que pour tout entier n ≥ n0, l'intervalle Kn,2nJ contienne au moins un nombre premier.
Si p et un nombre premier et m un entier, on note vp(m) ∈ N l'exposant de p dans la décomposition de men facteurs premiers (valuation). On rappelle que pdivisem si et seulement sivp(m)≥1 et quevp(mm0) =vp(m) +vp(m0)pour metm0 entiers.
Dans tout le problème,n∈N\ {0,1,2} et on utilise plusieurs notations.
le nombre d'entiers premiers dansJ1, nK:π(n) le produit des entiers premiers dansJ1, nK:Pn
le produit des entiers premiers dans Kn,2nK : Rn (avec Rn = 1 si l'intervalle n'en contient pas).
Par exemple :
π(8) = 4, P8= 2×3×5×7 = 210, P2n=PnRn
1Ce n'est plus un postulat depuis le 19ème siècle ; il a été démontré par Chebychev. La preuve présentée ici dérive de celle proposée par Paul Erdös.
Partie I. Outils.
1. Calculer lesπ(n)pourn≤14. Pourn≥17, quel est le nombre d'entiers impairs dans J17, nK? Montrer que
∀n≥14, π(n)≤n 2 −1
2. Soienta,b, mnaturels non nuls. Montrer, en utilisant le théorème de Bezout adivisem
bdivisem a∧b= 1
⇒abdivisem
Montrer que si un nombre premier divise un produit alors il divise un des facteurs de ce produit.
3. Montrer queb2xc −2bxc ∈ {0,1} pour toutxréel. Caractériser b2xc= 2bxcà l'aide de{x}=x− bxc.
4. On dénit une fonctionT par :
∀x∈]0,+∞[, T(x) = 4x3√ x(2x)−
√x 2
Écrire ln(T(x))sous la forme d'un développement asymptotique en +∞. En déduire un équivalent deln(T(x))et la limite de T en+∞.
5. Montrer que tout diviseur premier den!est inférieur ou égal à net que tout diviseur premier de 2nn
est inférieur ou égal à2n. 6. Discuter suivantndu signe de 23n−√
2n.
Partie II. Inégalités.
1. Soitkentier naturel non nul.
a. En considérant(1 + 1)2k+1, montrer que 2k+1k
≤4k.
b. Soitppremier dansJk+ 2,2(k+ 1)K, montrer quepdivise 2k+1k .
c. Montrer que le produit des nombres premiers dansJk+ 2,2k+ 1Kest inférieur ou égal à4k.
d. Montrer par une récurrence forte (en distinguant deux cas) que
∀n∈N\ {0,1}, Pn≤4n
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S1505E
MPSI B Année 2015-2016. DS 5 le 22/01/16 29 juin 2019 2. a. Préciserλn tel que 2(n+1)n+1
=λn 2n n
. b. Montrer que√
1−x≤1−x2 pour tous lesx≤1. c. Montrer par récurrence que
∀n∈N\ {0,1}, 2n
n
> 4n 2√ n
Partie III. Diviseurs premiers de n!.
Dans cette partie,pdésigne un entier premier inférieur ou égal à n. 1. a. Montrer que
max{vp(m), m∈J2, nK}=blnn lnpc Ce nombre est notéVp(n)dans tout le problème.
b. Montrer queVp(2n)−Vp(n)∈ {0,1}. Ce nombre est notéεp(n). 2. Pourq∈K1, nK, montrer que le nombre de multiples deqdansJ1, nKest bnqc. 3. Soiti∈J1, Vp(n)K.
a. Pourm∈J2, nK, caractériservp(m) =i en termes de divisibilité.
b. Quel est le nombre dem∈J2, nKtels quevp(m) =i? c. Montrer que
∀n∈N\ {0,1}, vp(n!) =
Vp(n)
X
j=1
bn pjc
4. Application. Calculerv2(100!)etv5(100!). En déduire le nombre de zéros par lequel se termine100!en écriture décimale.
Partie IV. Diviseurs premiers de 2nn .
Dans cette partie,pdésigne un entier premier inférieur ou égal à 2n. 1. Montrer que
vp( 2n
n
)≤
Vp(n)
X
j=1
b2n
pjc −2bn pjc
+εp(n)≤Vp(2n)
2. Montrer que
pvp((2nn))≤2n (1)
√
2n≤p⇒vp( 2n
n
)≤1 (2)
p∈K 2
3n, nK⇒vp( 2n
n
) = 0 (3)
Partie V. Conclusion.
1. Montrer queRn (le produit des nombres premiers dansKn,2nK ou 1) divise 2nn. On dénitQn∈Npar 2nn
=QnRn.
2. Montrer que, pourn≥5, tout diviseur premier deQn est inférieur ou égal à 23n. En déduire
∀n≥5, Qn ≤(2n)π(
√2n)42n3
3. Montrer que
∀n≥98, Rn ≥(2n)−
√n 2 4n3 √
n puis conclure.
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