Exercice 1 : Probabilité de ruine et mouvement brownien avec dérive

ISFA Vincent Lerouvillois Soutien Processus stochastiques - M1 Actuariat lerouvillois@math.univ-lyon1.fr Semestre printemps 2018-2019 math.univ-lyon1.fr/homes-www/lerouvillois/

Séance n

5 Théorème de Girsanov

Exercice 1 : Probabilité de ruine et mouvement brownien avec dérive

Soit (B

)

un mouvement Brownien défini sur un espace probabilisé filtré (Ω, F, P ) et adapté par rapport à une filtration (F

)

. On modélise l’argent détenu par une personne à un instant t par :

X

= x

+ µt − σB

,

où x

> 0 est l’argent au temps 0, µ > 0 est le revenu de la personne par unité de temps (dérive), B

représente un risque et σ > 0 le paramètre de volatilité. On se demande quelle est la probabilité que cette personne soit ruinée à un moment, en fonction des paramètres x

, µ et σ. Pour cela, on définit le temps de ruine :

T

:= inf {t > 0, X

= 0}.

Le but de l’exercice est de calculer la probabilité de ruine : P (T

< +∞).

1. Posons a =

et c =

. On considère le processus B ˜

:= B

− ct, et le temps d’atteinte :

T ˜

:= inf {t > 0, B ˜

= a}.

Montrer que T

= ˜ T

.

2. On fixe un horizon de temps t > 0. Justifier que ( ˜ B

)

est un mouvement brownien standard par rapport à une autre mesure de probabilité Q

que l’on explicitera en fonction de P , de t et de c.

3. Justifier que P (T

≤ t) = E

1

a≤t

e

2t 2

.

4. En justifiant que T ˜

est un temps d’arrêt et que (e

2t

2

)

est une Q

-martingale, en déduire, par le théorème d’arrêt, que :

P (T

≤ t) = E

1

e

2t∧Ta 2

= e

E

1

e

2Ta 2

.

1

5. On admet que pour un mouvement Brownien standard, le temps d’atteinte de la valeur a : T ˜

a pour densité f

(x) =

2π e^−a

2 2x

x^3/2

1

. En conclure que P (T

≤ +∞) = e

Z

0

√ a 2π

e

2 2x−^c2₂^x

x

dx.

En calculant la dernière intégrale, on trouve que

P (T

< +∞) = e

= exp(− 2x

µ σ

).

Exercice 2 : Probabilité neutre au risque.

On considère deux actifs : un actif sans risque (S

)

de taux de rendement r > 0 et un actif risqué (S

)

de taux de rendement µ > 0 et de volatilité σ > 0. On fait l’hypothèse que le taux d’actif risqué évolue selon la formule de Black-Scholes. Autrement dit :

dS

= S

r dt , et :

dS

= S

(µ dt + σ dB

) ,

où (B

)

est un mouvement Brownien standard. On appelle actif risqué actualisé le processus

S e

0≤t≤T

:=

S

S

0≤t≤T

.

Pour simplifier les expressions, on suppose que S

= S

= 1.

1. Calculez S

.

2. En appliquant la formule d’Itô à ln(S

), montrez que S

= exp

(µ −

)t + σB

. 3. Donnez l’équation stochastique satisfaite par S e

.

4. On note P la probabilité sous-jacente (sous-laquelle (B

)

est un mouvement Brownien).

Soit Q

la probabilité définie sur F

par d Q

= exp r − µ

σ B

− 1 2

r − µ σ

T

! d P .

Que pouvez-vous dire de (W

:= B

−

t)

sous Q

?

5. Montrez que ( S e

)

est une martingale sous Q

et écrire ( S e

)

comme processus d’Itô sous Q

(à l’aide de W

). On appelle Q

la probabilité neutre au risque.

6. Soit a ∈ R . On note :

F (t, x) = e

x

− 2ax + a

. (a) Montrez que (M

:= F (t, S e

))

est une martingale sous Q

. (b) Calculez E

h

( S e

− a)

i .

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