Constante diélectrique et mouvement brownien

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Constante diélectrique et mouvement brownien

R. Balescu, Y. Soulet

To cite this version:

R. Balescu, Y. Soulet. Constante diélectrique et mouvement brownien. Journal de Physique, 1965, 26 (2), pp.49-58. �10.1051/jphys:0196500260204900�. �jpa-00205924�

CONSTANTE

DIÉLECTRIQUE

ET MOUVEMENT BROWNIEN Par R. BALESCU

(1)

^{et Y. SOULET} (2),

Résumé. 2014 La théorie de la constante diélectrique ^est développée d’une manière générale ^à partir ^de l’équation ^de Liouville. Sans faire d’hypothèses ^sur la nature du milieu et sans supposer

qu’il ait atteint un état stationnaire on obtient une expression complètement générale qui ^{se sim-} plifie ^{dans le cas où} l’on s’intéresse à la réponse pour des temps longs. On montre que les coeffi- cients de l’équation ^de Fokker-Planck décrivant le mouvement d’une particule faiblement couplée

au milieu peuvent s’exprimer ^{à l’aide de cette} quantité. ^On généralise ensuite la constante diélectri- que ^{au cas où} le couplage ^{entre la} particule-test ^et le milieu n’est plus supposé faible mais où la masse

de cette particule ^est grande. ^{On montre} alors que les coefficients ^de l’équation ^« classique » ^de

Fokker-Planck (décrivant ^{le mouvement d’une} particule lourde dans un milieu de particules légères ^à l’équilibre) s’expriment ^{seulement à l’aide de} la constante diélectrique généralisée.

Abstract. ²⁰¹⁴ The theory ^{of the} dielectric constant is developed ^{in a} general way from the Liou-

ville equation. ^A completely general expression ^is derived in which no assumption is made about the nature of the medium or even about its stationarity. ^{If one} is interested in the long-time ^res-

ponse, ^a simpler expression ^{results. It is shown that} the coefficients of the Fokker-Planck _equa- tion describing the motion of a particle weakly coupled ^{to the medium can be} expressed ^{in terms}

of this quantity. ^A generalization of the dielectric constant is then introduced, in which it is no

longer ^{assumed that the} coupling between test particle ^and medium is small. This expression

become tractable only ^if it is assumed that the test particle ^is heavy. ^{It is} then shown that the coefficients of the " classical ^" Fokker-Planck equation (motion ^{of a} heavy particle ^{in a medium}

of light particles ⁱⁿ equilibrium) ^are expressed entirely in terms of the generalized ^dielectric

constant.

Tome 26 No 2 FÉVRIER 1965

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

1. Introduction. ^- Ces derni6res ann6es la th6o- rie

statistique’

^{de la constante}

di6lectrique

^s’est

fort

d6velopp6e,

^{non seulement en vue des}

appli-

cations ^en

électrodynamique [1]

mais aussi a cause

de ses relations avec la theorie

générale

^du pro- blème a N corps. Nozieres ^et Pines

[2]

ont, ^les

premiers,

^{insist6 sur le fait que}

1’6nergle

^{du zero}

absolu d’un

systeme quantique,

peut

s’exprimer

d’une mani6re

simple

^{en termes de la constante}

dielectrique.

^Cette

^propriete

s’ étend a

1’energie

libre d’un

systeme quantique

^ou

classique

^a

temp6-

rature non nulle

[3], grandeur

^{dont on} peut ^d6duire

toutes les

propri6t6s thermodynamiques.

En ce

qui

^{concerne les}

propri6t6s

^de

non-equi- libre,

le role de la constante

di6lectrique

^{est moins}

bien connu. Nozi6res et Pines

[2]

^{ont montre}

qu’on pouvait exprimer

^{a l’aide de la constante di6lec-}

trique

^la perte

d’énergie

^d’une

particule rapide

(1) Faculté ^des Sciences de l’Université Libre de

Bruxelles, 50, av. Fr. Roosevelt, ^Bruxelles (Belgique).

(2) Boursier de thèse du Commissariat à l’Énergie Atomique, Département ^de Physico-Chimie (Centre d’Études Nucléaires de Saclay, ^{B. P. n° 2, Gif sur Yvette,}

S. et O., France).

passant ^{a travers} la matiere. D’autre part, ^en

phy- sique

^des

plasmas

^{on sait} que la ^{constante di6lee-}

trique joue

^un role central

lorsqu’on

peut ^a6crire

ces

systemes

^a

l’approximation

^{des anneaux}

[4,

5,

6, ’7] :

^{dans ce cas la constante}

di6lectrique

appa- rait

explicitement

^dans

1’equation cin6tique

et,

par

consequent,

^{dans les}

ph6nom6nes

^de transport.

Dans le

present

^{travail nous montrons} que la notion de constante

di6lectrique joue

^{un role tres}

important

dans la theorie du mouvement brownien.

On sait

qu’il

existe deux cas ou les

equations

^cin6-

tiques generales

^se r6duisent a

1’6quation

^de

Fokker-Planck de la theorie

semi-phénoméno- logique

^{du mouvement brownien}

[8] :

^{le cas d’une}

particule

^{se mouvant dans un milieu}

auquel

^{elle est}

faiblement

coup]6e

^{et celui d’une}

particule

^lourde

se mouvant dans un milieu de

particules 16g6res.

Nous 6tudierons d’abord le

premier

^{cas. Au para-}

graphe 2

^nous d6montrons d’abord une formule tres

générale exprimant

^{la constante}

dielectrique

^en

termes de la

dynamique

^{du milieu.}

Aucune

appro- ximation

(de

type : ^faible

couplage,

^faible densité, etc...) ^{n’est faite sur la}

description

^du

milieu ;

^{on ne} suppose pas ^non

plus

que le milieu

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0196500260204900

soit a

1’equilibre.

La formule ainsi obtenue

(2.19)

constitue une

generalisation significative

^{des resul-}

tats connus

(par exemple l’expression g6n6rale

^de

la constante

di6lectrique d’équiljbre

demontr6e par Ron

[9]).

^Sa

propri6t6s caractéristique

^{est sa nature}

non-markoffienne : la

r6ponse

^du

syst6me depend

en

general

^{de son} histoire. Cette

expression

^se

simplifie

^{si on} s’intéresse a des

temps longs

par.

rapport

^{a la}

p6riode

^des oscillations de

plasma

^ou

si le

systeme

^{est a}

l’equilibre.

Aux

paragraphes

^{3 et 4 nous} 6tudions les

6qua-

tions

ein6tiques

^{d6crivant le mouvement d’une}

particule

faiblement

coupl6e

^{a un milieu}

quel-

conque. Nous ^montrons que les coefficients de

1’equation

^de Fokker-Planck

obtenue, s’expriment

a 1’aide de la constante

di6lectrique.

^{Dans le cas}

general,

^{on doit}

connaltre,

outre cette

grandeur,

^la

fonction de distribution des vitesses et la fonction de correlation binaire.

Cependant,

^{si le milieu est à}

1’equilibre thermique,

^{la donn6e de la constante}

di6lectrique

suffit pour determiner entierement les coefficients de

1’equation.

Au

paragraphe 5,

^nous introduisons une

g6n6-

ralisation de la constante

di6lectrique,

pour

laquelle

il n’est pas n6cessaire de supposer faible le cou-

plage

^entre

particule

^{test et} milieu. La theorie n’est

cependant

^maniable que si l’on considere ^une

particule

^{lourde se mouvant dans un milieu de}

particules 16g6res

^a

1’equilibre thermique.

Nous montrons ensuite que les

grandeurs

^carac-

t6risant le

probleme classique

^{de mouvement}

brownien

(mouvement

^d’une

particule

^{lourde dans}

un milieu a

1’equilibre) s’expriment

enti6rement en

termes de la constante

di6lectrique g6n6ralis6e.

Aucune

hypothese

^n’est

requise

^sur l’intensité ou

la nature ^du

couplage

^entre

particule

^{test et}

milieu,

ou sur la nature de ce dernier.

2. Expression

microseopique

^{de la constante} di6lectrique. ^{- On}

peut

^{definir la constante di6loc-}

trique

^d’un

systeme

^de

plusieurs

manieres a

partir

des

equations

^{de Maxwell et des}

equations

^subsi-

diaires

qu’on

^{doit leur}

adjoindre

pour ^en faire un

systeme

^{f erme. ttant donne} que ^{toutes ces} defi- nitions

[1, 2,3, 9]

^sont

6quivalentes

^nous choisissons celle

qui

^{est la}

plus proche

^{de notre}

probleme,

^à

savoir celle

qui

^{se base sur le} concept ^de

particule-

test. Dans cette m6thode on considère un

systeme

f orme de N electrons de

charge e

^{et dont la}

charge

totale est neutralis6e par ^{un fond} continu

positif.

Les electrons constituent ce que ^nous

appellerons

le

milieu ;

^{dans ce milieu on} introduit des

particules

de

charge

^eT

ayant

^{une densite de}

charge :

of rk ^{est une} fonction

quelconque

^{du vecteur}

d’onde k. La

r6ponse

^du

systeme

^{se traduit} par

1’apparition

d’une densite de

charge ehknd(t).

^Une

application

616mentaire de

l’équation

^de

Poisson,

combin6e avec

1’6quation qui

lie les transformees de

Fourier-Laplace (3)

^du

champ

^{et de} l’induction

6lectriques :

permet ^{d’obtenir la} relation suivante

[2, 3] :

Cette

equation

^{relie la constante}

di6lectrique ek(CO)

^à la densité de

charge

^induite

ehk d(t),

gran- deur _que l’on peut calculer ais6ment dans une

.theorie

statistique.

Nous allons

esquisser

^main-

tenant ce calcul. Les variables se rapportant ^aux

particules

^{du milieu seront} par la suite affect6es

d’indices i, j,

^{..., les variables se} rapportant ^{a la}

particule-test

^seront

reperees

par l’indice T.

L’ H amiltonien du

syst6me

^{sera donc :}

ou m est la masse de

1’electron,

^{e sa}

charge

^et

ou Vii

d6signe

^le

potentiel

^{de Coulomb :}

En utilisant les m6thodes de la

m6canique

^statis-

tique d6velopp6es

^en detail dans les r6f.

[6]

^et

[10]

nous pourrons r6soudre

1’6quation

de Liouville du

systeme

^{de N} + ¹

particules

des que ^{nous nous} donnons une condition initiale. La fonction de dis- tribution du

systeme

pourra s’écrire ^sous forme d’un

d6veloppement

^en s6rie de Fourier :

of xs ^{est une} abréviation pour 1’ensemble des

posi-

tions des

particules

du milieu :

(xl,

^..., XN), ^de

meme que ^{vs et} ks

repr6sentent

collectivement les vitesses et les vecteurs d’onde relatifs aux

parti-

cules du milieu. La

dependance

du volume des coefficients de Fourier n’a pas ete

explicit6e ici,

pas

plus

que dans

(2.1).

Le

point

^{de vue} que ^nous

adoptons

^ici peut ^se

r6sumer ainsi : la

particule

^{test ne se}

distingue

pas des

particules

^{du milieu du}

point

^{de vue de 1’hamil-}

tonien

(si

^ce

n’est, éventuellement,

par ^des valeurs (3) ^{Dans ce} qui suit le terme ^« transformee de Fourier-

Laplace» d6signe toujours ^une transformee de Fourier par rapport ^{a x et une} transformee de Laplace par rapport

a t.

51

particulieres

^{de eT et de mT). Son role}

privilegie apparait uniquement

^dans la condition initiale que

nous

adoptons :

Cette formule

signifie qu’a

l’instant initial la

particule

^test n’est pas corr6l6e ^au

syst6me. x(vTl)

est une fonction arbitraire ^des composantes ^{de BT}

perpendiculaires

^{a k ; on}

^exige

^seulement

^qu’elle

soit norm6e a l’unit6. Le choix de cette forme

(2.5)

est motive par le fait que les formules finales doivent etre

comparables

a celles du traitement

phénoménologique

^pour

^pouvoir

identifier la cons-

tante

di6lectrique. pks(vs? 0) repr6sente

^{les coef-}

ficients de Fourier de la distribution du milieu.

Nous supposons seulement que ^ce dernier est homo-

g6ne (I ks

^{= 0) et que la} distribution est norm6e,

ce

qui implique

^{une condition sur la} distribution des vitesses

(4) :

a savoir :

Notre but est de calculer la densite de

charge

^à

l’instant t :

Le

symbole

^{dvq est une} abréviation _pour

designer

une

int6grale

^{d’ordre N sur toutes} les vitesses du

milieu ; pl+’(,711...,

^{t) est la}

composante

^de

Fourier de

IN+,

ayant ^{un seul vecteur d’onde non}

nul

(et 6gal

^a k), ^{6 savoir celui}

qui correspond

^{a la}

particule i

^{du milieu}

lorsque

^{o = i ou a}

particule-

test si 6 ⁼ T.

La solution

g6n6rale

^de

1’6quation

^{de Liouville}

de ce

probleme s’exprime

^en fonction de la condi- tion initiale a l’aide de la fonction de Green de

l’op6rateur

de Liouville

complet

^de la maniere suivante

[6] :

ou

k(a) 1 représente

^{1’6tat of toutes les}

particules

ont un vecteur d’onde nul sauf la

particule

^a

laquelle correspond

^{le vecteur k.}

(4) La factorisation (2.6) ^{est une} condition que l’on doit adopter pour éviter 1’existence de corrélations de

port6e

^{infinie (voir r6f. [6]).}

On sait

(2.3)

que ]a theorie ordinaire de la cons- tante

di6lectrique

^{s’obtient en} supposant que la

particule

^{test est} faiblement

coupl6e

^au

milieu,

c’est-a-dire en supposant :

Nous nous limiterons donc a un calcul de pertur- bation au

premier

^{ordre en e. Dans ce cas :}

ofj El

^est

l’op6rateur

^{de Liouville}

correspondant

a

HI,

^{ses elements de matrice 6tant :}

où lâ represente

l’ensemble des vecteurs d’onde des

particules

^du milieu sauf celui de la

particule j,

^et

où

90(t)

^{est la fonction de Green non}

perturb6e.

Etant donne que la

particule

^test n’est pas

coupl6e

au milieu par

H 0,

^{on montre} que :

ou gs(t) ^{est la} fonction de Green du milieu (en I’absence de

particule

test) ; ^{autrement dit :}

Substituons

(2.11)

^dans

(2.9), puis (2.9)

^dans

(2.8)

^et utilisons les relations

(2.7), (2.12), (2.13)

et

(2.14),

^{nous obtenons :}

a condition de d6finir Xi _par la relation :

Pour transformer cette

6quation,

^nous utiliserons la m6thode de ]a ^«

transformation

^de

Laplace

par- tielle ^»

qui

^est

exposee

^en detail dans

I’ appen-

dice 8 de la r6f.

[6].

^En introduisant la trans- form6e de

Laplace

^{de la} fonction de

Green,

^c’est-à-

dire la résol(Jante relative au milieu :

52

la formule

(2.15) peut

^{s’écrire :}

En faisant le

changement

de variable d’int6-

gration r

--->t-,r dans

(2.18)

^nous voyons que

hk +1(t)

^est

proportionnel

^{a la densité}

perturba-

trice rk e-iCl)t. Nous remarquons maintenant que

nous pouvons faire ridentiiication :

En

appliquant

^{la formule}

(2.3)

^{nous obtenons :}

Cette

expression

^fournit

1’expression g6n6rale

^de

la constante

di6lectrique

^d’un

plasma.

^On voit que, toute reference a la

particule

^{test a}

disparu :

^la

constante

di6lectrique

^{est une}

propriete intrinseque

du

plasma.

^{I1 faut} remarquer que

ek(W),

^{etant une}

fonctionnelle des corr6lations

pis(vs, t

^- ’r)

depend

du temps par l’interm6diaire de ces derni6res. 11 est bon d’attirer l’attention sur le fait

qu’une

^cons-

tante

di6lectrique

^a pu ^etre d6finie

rigoureusement

meme pour ^un

systeme qui

^{est hors de}

1’equilibre thermodynamique.

Par suite de

l’int6grale

^{sur T,}

on voit que la constante

di6lectrique depend

^de

toute 1’histoire

pr6c6dente

^du

systeme.

Ce caractere

« non

marleoffien

^{» est une}

caractéristique générale

de 1’evolution des syst6mes ^{a N} corps.

L’expression (2.19)

^se

simplifie

considerablement si nous pouvons faire

l’approximation

^markof-

fienne d6crite en detail dans

1’appendice

^{8 de}

la r6f.

[6].

Elle consiste a

negliger

la variation de

pl,(v,, t

^{- "t’) sur un} intervalle du temps ^{de l’ordre}

de la duree effective de la

m6moire,

c’est-à-dire

CJ};-l,

cop 6tant la

frequence

^de

plasma.

^{Dans ce cas}

nous

remplagons pis(t

^- r) par

pig(t)

^dans

(2.19)

et nous obtenons :

Si en outre, ^{nous nous} intéressons a des temps

longs compares

^a

(,,)p1,

^nous pourrons

garder

^dans

(2.20)

seulement le residu au

pole

^{z = û), et nous}

obtenons :

C’est cette

grandeur

markonienne et stationnaire

qui jouera

^le role essentiel dans les

paragraphes

suivants.

Separons

^{les termes de la somme sur ls}

en ls - 0 et ls =1= 0. Les

premiers repr6sentent

^la

contribution de la distribution des

vitesses,

^les deuxieme ^celle des correlations. Mais celles-ci s’ ex-

priment,

^{a l’}

approximation markoffienne,

^{en termes}

de 1’ensemble des

fragments

de creations

agissant

sur la distribution des vitesses

[6, 10] :

Des lors

(2.21)

^{se r6duit h :}

Pour

repr6senter

^{les termes de}

1’6quation (2.22)

nous utiliserons ^une notation

abr6g6e semi-gra- phique

que ^nous allons

expliquer

maintenant. Nous 6crirons

(2.22)

^{sous la forme :}

L’operateur A(X;)

^{est d6fini en} comparant

(2.22)

et

(2.23) ;

^{mais il est}

preferable

^{de definir en termes}

des ^«

*diagrammes

^{modifies »}

repr6sent6s

^{dans la}

figure

^{1. Les}

diagrammes

^{modifies ne} diffèrent des

Fic. 1. ^- Diagrammes ^modifies représentant l’opérateur ^A.

Un fragment ^hachur6 repr6sente ^une succession d’un nombre arbitraire de fragments diagonaux ^de type quelconque.

diagrammes habituels,

^{decrits en} detail dans la r6f.

[6],

que

parla presence

^{d’un somlnet}

distingue

^X

qui repr6sente

^{1’endroit ou se}

produit

l’interaction entre la

particule

^{test et le milieu. A ce sommet la}

conservation des vecteurs d’onde n’est _pas res-

pect6e (a

^{cause de la}

particule

^test

sous-entendue).

Au somrriet

distingue correspond,

^{dans ce}

cas-ci, l’expression

^{Xi d6finic} par

(2.16) (la

^sommation

sur i et

sur j est 6galement sous-entendue).

^Tous

les

propagateurs

^a

gauche

^{de X sont} évaIués pour

z ⁼ w, et ^ceux situ6s a droite de X le sont pour Z 0.

53

Notons ici les

propri6t6s

suivantes que 1’on utili:

sera souvent

plus

^{loin :}

Avant d’étudier les

applications

^{de la constante}

di6lectrique (2.23),

attirons l’attention sur un cas

particulier important.

^II y ^{a en} effet un cas

unique

pour

lequel le

passage de

1’6quation (2.19)

^a

(2.20)

ne

comporte

pas

d’approximation :

^{c’est le cas ou}

le milieu est a

l’équilibre thermique.

^{Cette situation}

est tres souvent r6alis6e

experimentalement :

^il

suffit de supposer que le milieu 6volue librement

jusqu’à

^{l’instant 0 et}

qu’il

^atteint

l’équilibre à

^cet

instant

la, lorsqu’on

^{introduit la}

particule

^test.

La constante

di6lectrique

^{est alors} donn6e par :

L’indice 6 se

rapportera toujours

^aux

grandeurs d’équilibre.

^Cette

expression

^{a ete obtenue}

prece-

demment par Ron

[9]

par ^une m6thode differente.

3. Perte

d ’énergie

^d’une

particule

^infiniment

lourde,

faiblement

couplée

^au

systdme.

^{- Consi-}

d6rons une

particule brownienne,

c’est-à-dire une

particule

^tres

lourde,

^de

charge

^eT

qui

^{se meut dans}

un fluide

homog6ne.

^{Nous ne ferons aucune}

hypo-

th6se sur les interactions mutuelles des

particules

du fluide (ces interactions

peuvent

^{done etre arbi-}

trairement

fortes) ;

^{mais nous} supposerons. que le

couplage

^{entre la}

particule

^{lourde et le fluide est}

faible et peut ^{etre trait6 a 1’ordre le}

plus bas,

c’est-à-dire a l’ordre

eT.

La perte

d’énergie

^{de cette}

particule

par ^unite de

temps

^{est un}

parametre important

caract6risant

ce

phénomène.

^{Par un calcul}

semi-phénoméno- logique [1],

^on peut identifier cette

perte d’6nergie

avec le travail effectue par unite de temps par la force resultant du

champ

^{induit : eT E . Ce calcul}

n6glige

^la reaction du

syst6me

^{sur la}

particule,

^en

supposant

que ^cette derniere a une vitesse cons-

tante WT done que :

PT(XT,t)

⁼

8(xr

^{- WT} t),

Dans ces

conditions,

^la perte

d’énergie s’exprime

par :

et un calcul

éIectrostatique

616mentaire conduit A :

Cette relation a ete obtenue dans le ^cas ou le milieu peut ^{etre considere comme un}

di6lectrique macroscopique,

caractérisé _par

ek(co).

^{Nous nous}

proposons de ^montrer dans ce

paragraphe

que ^cette formule peut ^{s’obtenir a}

partir

^de

l’equation

^cin6-

tique g6n6rale

^d6crivant 1’6volution d’une

parti-

cule lourde

(mT --¿- ^w)

^faiblement

coupJée à

^un

plasma,

^{sur 1’6tat}

duquel

^{on ne fait aucune restric-}

tion.

L’equation cinetique

^donnant 1’evolution de la fonction de distribution des vitesses de la

particule test (VT, t)lbt,

^{a l’ordre}

e% s’exprime

^dans

l’approximation markoffienne,

c’est-à-dire pour des

stemps

longs

par

rapport

^{a la}

periode o-I

^des

oscillations du

plasma

^{en termes de la somme des}

fragments diagonaux §+(0) [6, 10]

^{ne contenant}

que deux sommets ou

interagit

^]a

particule-test.

Puisque

^{tous ces}

fragments

commencent a

gauche

par Ie meme ^sommet

nous pourrons ^{mettre ce sommet en} evidence et ecrire

1’6quation cinetique

^{sous la forme:}

Nous avons utilise ici la notation

abr6g6e

^intro-

duite a la fin du

paragraphe

^{2. X; est} donne par

(2.16),

^{et Xi, est} d6fini par :

Les

op6rateurs Al

^et

B, correspondent

^{aux dia-}

grammes de la

figure

^{2 ou tous les}

propagateurs

sont évalués pour ^{z =} 0.

FIG. 2. ^- Diagrammes repr6sentant ^les op6rateurs A et B I.

La perte

d’énergie

^{est d6finie par :}

La perte

d’énergie

^d’une

particule

de vitesse WT sera donc :

Nous consid6rons maintenant Ie cas d’une

parti-

cule tres lourde (mT - 00). ^{On note} que dans ^ce

cas XT - 0 et

B(XT --*

0) ^{- 0.} On remarque enfin que

AL(XI)

^{fi’est autre} que

A(Xj)

^6valu6

avee o ⁼

li.v!r (ù

⁼

^k.w!r après int6gration

sur

dVT) ;

il suffit de ^noter que la

ligne pointillée (voir flg. 2)

^{revient a}

aj outer

^{un terme ik. vr au}

denominateur de

chaque propagateur

^{situe à}

gauche

^{du sommet X}

distingue.

^{Des lors on cons-}

tate que

(3.6)

donne pour

P,,(WT,

t) ^{la meme}

expression

que

(3.2).

On notera enfin que dans

l’approximation

^consi-

d6r6e

(a

^{savoir mT -¿.} oo) ^la perte

d’energie (3.5)

est donn6e par :

4.

Équation

^de Fokker-Planck a 1’ordre

4.

^-

Liquation ein6tique

^a

l’ordre 4 (3.3)

peut ^s’écrire

d’une maniere

plus compacte

^{sous la forme :}

ou Q est un

op6rateur

différentiel du deuxieme ordre

agissant

^sur la vitesse _{Vr ;} les coefficients de cet

op6rateur

^sont

cependant

^des fonctionnelles non-lin6aires

compliquees

^{de la} distribution des vitesses des

particules

^{du milieu.}

Nous pourrons donc

toujours

^ecrire

(4.1)

^{snus la}

forme d’une

equation

^de Fokker-Planck :

Nous nous proposons de calculer les

coefficients,

ou moments de transition, ^{de cette}

equation ;

^ils

seront fonction de WT et de t si le milieu est hors de

1’equilibre

^{et de WT} seulement dans le cas con-

traire. Le

premier

^{de ces} coefficients

(appel6

^aussi

friction

dynamique)

^est d6fini par

[6] :

Un calcul

analogue

^fournit

l’expression :

où

Afin de mettre cette derniere

expression

^sous

une forme

plus suggestive,

^nous

int6grons

^sur

dvr,

puis

^nous

multiplions

^et divisons Ie second membre par

k7p’ (’J, t)fmt,

^ou

et of

Nous pouvons alors r66crire

(4.4)

^{sous la forme :}

où

En 6crivant enf n :

L’equation (4.7)

peut ^se

d6composer

^{en une}

somme de deux termes :

Un examen des

diagrammes

^montre que :

ou

F(l){ v,

t) ^{est la fonction} d6finie par :

Pk.-X(Vi,

^WT, t) ^{6tant la} fonction de correlation

binaire,

calcul6e a l’ordre eT-

En comparant ^aussi

(4.8)

^a

(2.23)

^{on obtient}

finalement :

Ayant

^{obtenu cette}

expression

formelle du coef- ficient de

diffusion,

^nous pourrons relier le coeffii- cient de friction et la perte

d’energie

^{a ce}

premier

coefficient. En

effet,

^{un calcul tres}

analogue

^au

precedent

permet ^de

s6parer

^dans

1’equation (4.3)

55 un terme

exprime

^en fonction de la constante

di6lectrique

^et de d6montrer la relation :

Enfin,

la definition de la perte

d’énergie

^entraine

la relation suivante :

d’oii r6sulte dans le cas

present :

Les f ormules

(4.10), (4.11)

^et

(4.13)

^{sont les}

expressions rigoureuses

des divers coefficients

qui

caract6risent le mouvement brownien d’une

parti-

cule faiblement

coupl6e

^{a un milieu}

(a

^l’ordre

e’).

Ce dernier est par ailleurs absolument

quelconque

et,

g6n6ralement,

^hors

d’équilibre.

^{Certains cas}

particuliers

^{de ces formules etaient connus}

[7, 11].

Nous pouvons remarquer ^tout de

suite, d’après

^la

formule

(4.10),

que les divers ^« coefficients browniens ;a ne peuvent pas, ^en

general, s’exprimer

en termes de la constante

di6lectrique

^seulement.

En effet, ^{la forme}

explicite

^{de la} fonction de distri- bution des vitesses et de la fonction de correlation

apparaissent explicitement

dans les formules. II est int6ressant

cependant

de consid6rer deux cas

particuliers :

^-

a) ^LE MILIEU EST A

L’EQUILIBRE.

^{- Dans ce} cas,.

qui

^{est le}

plus

^{souvent étudié en} theorie du mou-

vement

brownien,

et, ^en outre, la fonction de

correlation pf§L(vi,

Wr) (et par

conséquent Fé(1)(v))

^est réelIe. La formule

(5.10)

^se réduit alors A :

1] en

r6sulte

que, pour ^un milieu a

1’equilibre,

les

propri6t6s

^{de ce} milieu n’interviennent dans la valeur des coefficients browniens que par l’inter- m6diaire de la constante

di6lectrique.

On montre encore que si ^{wT est assez}

grand Pé(W)

^{se r6duit h :}

La relation

(4.13)

^montre que

PI(WT)

pour ^WT

assez

grand

^{est encore} donne par

(3.2) ;

^{ce r6sultat}

etait

deja

^{6tabli dans}

I’approximation

^des

anneaux

[11].

b)

^LE MILIEU, hors

d’équilibre,

^est décrit dans

l’ approximation

^{des anneaux. Dans ce cas on sait}

^[61

que Im

F(I)( v,

t) ^{= 0 et des lors} le second membre de

1’equation (4.10)

^{se r6duit a son}

premier

^terme.

Les coefficients browniens

s’expriment uniquement

en termes de la constante

dielectrique

^{et de la}

distribution des vitesses.

5. Constante

di6lectrique

g6n6raIis6e. ^{- En}

nous reportant ^{aux calculs}

du, paragraphe ^2,

^une

generalisation

^{de la constante}

di6lectrique apparait

tout naturellement. Il est clair _que dans notre

approche,

^la

particule-test

^est

dynamiquement identique

^aux

particules

^{du milieu}

(sauf

^eventuel-

lement en ce

qui

^{concerne la} masse) ^{et ne s’en}

distingue

essentiellement _{que par}

la

distribution initiale que nous avons

judicieusement

^{choisie. Le}

petit parametre

^dans la theorie ainsi

presentee

^est rk Des

lors,

^on peut consid6rer que ^{eT est un} parametre

fini

(disons :

^{eT =}

e).

^{Il est} alors naturel _{de pousser} le calcul de

perturbation

^{a un ordre} arbitraire ^en eT

plutot

que ^{de se} limiter au

premier ordre,

^comme

nous l’avons fait

jusqu’ici (cf. (2.1I)).

^On peut

montrer assez facilement _que la ^constante di6lee-

trique généralisée e;( (ù; {

^Z

D

ainsi d6finie n’est

plus

^celle

qui apparait

^en

électrodynamique

^à

travers la relation

(2.2).

^{Par contre, nous mon-}

trerons que ^ce concept

s’integre

^tout naturellement dans la theorie du mouvement brownien. Nous nous

limiterons toutefois ici au cas ou le milieu est en

équilibre.

Par un calcul ^de

perturbation

^{tout a fait sem-}

blable a celui du

paragraphe 2,

^mais que ^nous poussons maintenant

jusqu’a

^{un ordre arbitraire}

en eT, ^nous obtenons :

ou

El repr6sente

l’ensemble des

diagrammes

^modi-

fi6s dont un

exemple

^est donne par la

figure

^3.

FIG. 3. ^- Exemple ^de diagramme repr6sentant l’op6- rateur Ex.

Un fragment ^hachur6 repr6sente 1’ensemble de tous les fragments ayant ^memes lignes ^{sortantes a} gauche,

memes lignes sortantes ^a droite et ne contenant pas d’interaction entre la particule-test ^{et le milieu.}