Exercice 1 : Propriétés du mouvement Brownien.

ISFA Vincent Lerouvillois Processus stochastiques - M1 Actuariat lerouvillois@math.univ-lyon1.fr Semestre automne 2019-2020 math.univ-lyon1.fr/homes-www/lerouvillois/

Éléments de correction TD n

2 Martingales discrètes et temps d’arrêts

Exercice 1 : Propriétés du mouvement Brownien.

Soit B un mouvement Brownien, soit c > 0 une constante et s ≥ 0 un nombre réel. Montrer que les processus suivants sont des mouvements Browniens.

1. (−B

)

(Symétrie),

2. (B

− B

)

(Propriété de Markov faible), 3. (B

− B

)

(Retournement temporelle), 4. (cB

)

(Auto-similarité),

Exercice 2 : Un petit contre-exemple.

Soit Z une variable aléatoire de loi N (0, 1). Le processus ( √

tZ )

est-il un mouvement Brownien ? Exercice 3 : Martingales du mouvement Brownien.

Soit B un mouvement Brownien issu de 0 et soit (F

)

la filtration naturelle associée à B.

Montrer que les processus suivants sont des martingales par rapport à (F

)

et comparer ces résultats avec leurs analogues discrets pour la Marche Aléatoire Simple vus à l’exercice 1 du TD 1.

1. (B

)

. 2. (B

− t)

.

3. (e

)

avec λ ∈ R .

Remarque : Le deuxième point revient à dire que le mouvement Brownien a pour variation quadratique hB

i = t. Le Théorème de caractérisation de Lévy affirme que la seule martingale continue de variation quadratique t est le mouvement brownien.

Exercice 4 : Somme de deux mouvements Browniens indépendants.

Soient B

et B

deux mouvements Browniens indépendants et soit ρ ∈]0, 1[ une constante.

1. Montrez que (ρB

+ p

1 − ρ

B

)

est aussi un mouvement Brownien.

2. En déduire que B

B

est une martingale.

Indication : Que peut-on dire du processus

t√+B_t² 2

− t

t∈R+

?

Correction exercice 4 :

1. Il s’agit d’un processus Gaussien car pour tout 0 ≤ t

≤ · · · t

et (a

, · · · , a

) ∈ R

n

X

i=1

a

(ρB

+ p

1 − ρ

B

) =

n

X

i=1

a

ρB

+

n

X

i=1

a

p 1 − ρ

B

,

où chaque terme de la somme est une variable aléatoire Gaussienne car B

et B

sont des processus Gaussiens. Par ailleurs, ces deux termes sont des v.a indépendantes car B

et B

sont indépendants. Or la somme de deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes est une variable aléatoire gaussienne (de moyenne la somme des moyennes et de variance la somme des variances). On en déduit que P

i=1

a

(ρB

+ p

1 − ρ

B

) est une v.a gaussienne.

Le processus est évidemment centré.

Enfin, Cov

ρB

+ p

1 − ρ

B

, ρB

+ p

1 − ρ

B

= ρ

Cov B

, B

+ p

1 − ρ

Cov B

, B

+ 0 + 0 car B

et B

sont indépendants

= ρ

(s ∧ t) + (1 − ρ

)(s ∧ t)

= s ∧ t.

Le processus (ρB

+ p

1 − ρ

B

)

est un mouvement Brownien.

2. On sait que la variation quadratique du mouvement Brownien au temps t est t (c.f Exo 3, question 2). Comme,

2

est un mouvement brownien d’après la question 1 avec ρ = 1/ √

2, on en déduit que

t√+B²_t 2

− t

t∈R+

, (B

)

− t

t∈R+

et (B

)

− t

t∈R+

sont des martingales. Or,

B

B

=

B

+ B

√ 2

− 1

2 (B

)

− 1 2 (B

)

=

B

+ B

√ 2

− t

!

− 1

2 (B

)

− t

− 1

2 (B

)

− t qui est une combinaison linéaire de martingales donc est une martingale.

B

B

est une martingale

Exercice 5 : Le pont Brownien.

Soit B un mouvement Brownien. On considère le processus stochastique (X

)

défini pour tout t ∈ [0, 1] par X

= B

− tB

.

1. Montrer qu’il s’agit d’un processus Gaussien.

2. Calculer sa fonction espérance ainsi que sa fonction de covariance.

3. En quel temps t la variance de X

est-elle maximale ? 4. Est-ce (X

)

est une martingale ?

Remarque : Ce processus stochastique s’appelle un Pont Brownien. Il s’agit d’un mouvement Brownien conditionné à revenir en 0 au temps 1 (voir Figure 1).

Figure 1 – Trois réalisations de ponts Browniens.

Correction exercice 5 :

1. Prenons une suite quelconque de temps croissants 0 ≤ t

≤ ... ≤ t

≤ 1 et un ensemble de n réels a

, ..., a

. Montrons que P

i=1

a

X

est une variable aléatoire Gaussienne. On a que :

n

X

i=1

a

X

=

n

X

i=1

a

B

+ (

n

X

i=1

−a

t

)B

,

est de la forme

m

X

i=1

a

B

i

.

Comme (B

)

est un processus Gaussien, il s’agit donc d’une variable aléatoire Gaus- sienne.

On en conclut que (X

)

est une processus Gaussien.

2. Pour tout t ∈ [0, 1], E [X

] = E [B

] − t E [B

] = 0, donc il s’agit d’un processus Gaussien

centré.

Pour tout 0 ≤ s ≤ t ≤ 1, on a que

E [X

X

] = E [B

B

] − s E [B

B

] − t E [B

B

] + st E B

= s − st − ts + st

= s(1 − t).

Donc Cov(X

, X

) = s(1 − t), ∀0 ≤ s ≤ t ≤ 1.

3. D’après la question précédente, on a que :

V (X

) = Cov (X

, X

) = t(1 − t), qui est donc maximale en t = 1/2 et qui vaut V (1/2) = 1/4.

4. Même si l’espérance est identiquement nulle, il ne s’agit pas d’une martingale car par exemple : E h

X

F

i

= E h 0

F

i

= 0,

alors que X

est une variable aléatoire Gaussienne centré de variance 1/4 donc n’est pas identiquement nulle.

Exercice 6 : Temps d’atteinte du mouvement Brownien.

Soit a > 0, (B

)

un mouvement Brownien et soit T

:= inf{t ≥ 0, B

= a} le premier temps d’atteinte du point a par un mouvement Brownien.

1. En utilisant une des martingales du mouvement Brownien , montrer que sa transformée de Laplace est égale à :

E [exp(−λT

)] = E [exp(−λT

)1

] = e

√ 2λa

,

pour tout λ > 0.

2. En déduire que P (T

< +∞) = 1 et que E [T

] = +∞.

Correction exercice 6 :

1. On utilise le fait que pour tout λ > 0, le processus stochastique

e

2 2 t

t≥0

est une martingale.

Par ailleurs, T

est un temps d’arrêt car {T

≥ t} = {sup{B

, s ∈ [0, t]} ≥ a} ∈ F

. On peut donc appliquer le théorème d’arrêt aux temps d’arrêts bornés 0 ≤ t ∧ T

. On obtient l’égalité :

E

e

2 2 t∧Ta

F

= 1, puis en prenant l’espérance

E

e

2 2 t∧Ta

= 1.

Nous voulons maintenant réaliser la limite t → +∞. Pour cela, on va utiliser le théorème de convergence dominée. D’une part, on a la convergence presque sûre :

e

2

2 t∧T_a

−→

t→+∞

1

e

2 2 Ta

= 1

e

2

2 Ta

(car B

= a par continuité du mouvement Brownien).

D’autre part, on a la domination suivante : e

2

2 t∧T_a

≤ e

, (car B

≤ a)

qui est bien intégrable comme variable aléatoire constante. On en déduit par le théorème de convergence dominée que :

E

e

2 2 t∧Ta

t→+∞

−→ E

1

e

2 2 Ta

= E

e

2 2 Ta

.

Par conséquent, on a

E

e

2 2 Ta

= 1, puis

E

e

2 2 Ta

= e

.

Posons, λ

=

, on obtient E h

e

i

= e

√

2λ⁰a

. On a montré que :

∀λ > 0, E h e

i

= e

√ 2λa

.

2. On a que E e

= E

1

e

. De plus, 1

e

−→

λ→0

1

,

et on a la domination 1

e

≤ 1 donc par le théorème de convergence dominée, E

h e

i

= E h

1

e

i

−→

E [1

] = P [T

< ∞] .

D’où,

P [T

< ∞] = lim

λ→0

e

√

2λa

= 1.

Ensuite, pour tout λ > 0, on a par le théorème de dérivation sous l’intégrale que : d E

e

dλ = E h

−T

e

i

.

Or, par théorème de convergence monotone : E [T

] = lim

λ→0

E h

T

e

i .

On a donc

E [T

] = lim

λ→0

E h

T

e

i

= lim

λ→0

− d E e

dλ

= lim

λ→0

− d dλ

e

√ 2λa

= lim

λ→0

√ a 2λ e

√ 2λa

= +∞.

En conclusion,

E [T

] = +∞.