Exercice 1. [Changement de Probabilité et Théorème de Girsanov] Soit (Ω, F , P ) un espace de probabilités ltré. Soit B un mouvement Brownien standard. On pose

ISFA

Processus stochastiques - Master Actuariat Semestre automne 2017-2018

Vincent Lerouvillois lerouvillois@math.univ-lyon1.fr

Huitième séance Théorème de Girsanov

Exercice 1. [Changement de Probabilité et Théorème de Girsanov] Soit (Ω, F , P ) un espace de probabilités ltré. Soit B un mouvement Brownien standard. On pose

L

= exp Z

0

θ

dB

− 1 2

Z

0

θ

ds

pour t < T et θ une fonction déterministe dans L

([0, t]) pour tout t ≥ 0 ( = L

).

1. Montrer que L est une martingale.

2. Justier comment L peut dénir un changement de probabilité.

3. Calculer E

[B

L

] en fonction de t et de θ.

4. En déduire la valeur de E [B

exp(B

)] .

Exercice 2. [Probabilité neutre au risque] On considère deux actifs : un actif sans risque (S

)

de taux de rendement r > 0 et un actif risqué (S

)

de taux de rendement µ > 0 et de volatilité σ > 0 . On fait l'hypothèse que le taux d'actif risqué évolue selon la formule de Black-Scholes. Autrement dit :

dS

= r S

dt , et :

dS

= S

(µ dt + σ dW

) ,

où (W

)

est un mouvement Brownien standard. On appelle actif risqué actualisé le processus

S e

0≤t≤T

:=

S

S

0≤t≤T

.

Pour simplier les expressions, on suppose que S

= S

= 1 . 1. Calculez S

.

2. En appliquant la formule d'Itô à ln(S

) , montrez que S

= exp

(µ −

)t + σB

. 3. Donnez l'équation stochastique satisfaite par S e

.

1

4. On note P la probabilité sous-jacente (sous-laquelle (B

)

est un mouvement Brownien).

Soit Q la probabilité dénie sur F

par

dQ = exp r − µ

σ B

− 1 2

r − µ σ

T

! d P .

Que pouvez-vous dire de (W

:= B

−

t)

sous Q ?

5. Montrez que ( S e

)

est une martingale sous Q et écrire ( S e

)

comme processus d'Itô sous Q (à l'aide de W

). On appelle Q la probabilité neutre au risque.

6. Soit a ∈ R. On note :

F (t, x) = e

x

− 2ax + a

.

(a) Montrez que (M

:= F(t, S e

))

est une martingale locale sous Q. Est-ce une martin- gale ?

(b) Calculez E

h

( S e

− a)

i .

2