DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Groupe infini dont les ´ el´ ements sont d’ordre fini
On dit d’un groupe (G,·) qu’il estd’ordre fini (oufini) si l’ensembleGest fini. Dans ce cas, le cardinal de Gest ´egalement appel´e l’ordre de (G,·) (ou deG).
Si (G,·) est un groupe d’´el´ement neutree, etg un ´el´ement de G, on dit queg est d’ordre fini s’il existe un entier naturel non nulntel que gn =e(rappelons que g0=e, par convention).
1Montrer que si (G,·) est un groupe d’ordre finin, alors tout ´el´ement deGest d’ordre fini.
Indication : un ´el´ement gdeG´etant fix´e, on pourra consid´erer l’application
ϕg : [[0, n]] → G k 7→ gk
2Pour tout entier naturel non nul n, on noteUn le groupe des racinesn-i`emes de l’unit´e.
a Soit
Ω = [
n>1
Un={z∈C,∃n∈N∗, zn= 1}.
Montrer :
1. Ω admet un ´el´ement neutre pour la multiplication.
2. ∀z∈Ω, z−1∈Ω.
3. ∀z, z0∈Ω, zz0∈Ω
CommeUest un groupe contenant Ω, on en d´eduit que (Ω,·) est un groupe.
b Montrer que le groupe Ω n’est pas d’ordre fini, mais que tous ses ´el´ements sont d’ordre fini.
