SUR LES AUTOMORPHISMES D'UN GROUPE FINI

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SUR LES AUTOMORPHISMES D’UN GROUPE FINI

Paul Lescot

To cite this version:

Paul Lescot. SUR LES AUTOMORPHISMES D’UN GROUPE FINI. RMS : Revue de la filière

mathématiques, 2015. �hal-01671553�

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PAUL LESCOT

1. Introduction

L’objet de cette note est d’établir le résultat suivant, conjecturé par Nicolas Tosel en 1997 :

Th´eor`eme 1.1. Il existe une fonction f : N^∗ →N^∗ telle que, pour tout groupe fini G, l’on ait |G| ≤f(|Aut(G)|).

Etant donné le Théorème de Cayley selon lequel un groupe fini d’ordre n est isomorphe à un sous–groupe du groupe symétrique Σ_n de degrén, il apparaˆıt que n’existe, pour chaque n, qu’une famille finie de types d’isomorphisme de groupes finis d’ordren. Le Théorème peut donc être reformulé ainsi

Th´eor`eme 1.2. Pour tout groupe fini H, la famille des groupes finis G tels que Aut(G)'H ne comprend qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme.

Lorsque l’on restreint G à être abélien, ce résultat est bien connu ; en fait, on a même un énoncé plus fort (Théorème 3.3), que nous utiliserons d’ailleurs dans notre démonstration.

Les notations sont des plus usuelles : |A| d´esigne le cardinal de l’ensemble fini A,Zn le groupe cyclique d’ordrenet φla fonction indicatrice d’Euler. PourGun groupe, on noteZ(G) son centre :

Z(G) :={x∈G|(∀y∈G)xy=yx} , et, pour (a, b)∈G²:

a^b:=b⁻¹ab , [a, b] :=a⁻¹a^b=a⁻¹b⁻¹ab (commutateur deaetb) et

G⁰ :=<[a, b]|(a, b)∈G²>

(groupe d´eriv´edeG).

L’ordre d’un élément xdeGest notéω(x).

2. Sur les groupes ab´eliens finis

Pour deux groupes finis abéliens A et B, Hom(A, B) désignera l’ensemble des homomorphismes deAdansB. Nous le munirons de la multiplication évidente :

∀(ϕ, ψ)∈Hom(A, B)²∀a∈A (ϕ.ψ)(a) =ϕ(a)ψ(a).

Il est visible que cette op´eration fait deHom(A, B) un groupe ab´elien.

Date: 08 Octobre 2014.

1

(3)

Théorème 2.1. SiA etB sont deux groupes abéliens finis, alors Hom(A, B)'Hom(B, A).

Démonstration. D’après le théorème de structure des groupes abéliens finis, on peut

´

ecrireAcomme produit direct de groupes cycliques A=A₁×...×A_r, et de mˆeme

B=B1×...×Bs .

Soit ϕ∈ Hom(A, B) ; alors, pour i ∈ {1, ..., r} et a ∈ Ai, posons (l’´el´ement a

´

etant situé à lai–ème place)

ϕ((1, ...,1, a, ...,1)) = (ψ1,i(a), ..., ψs,i(a)).

Il apparaˆıt que

ψ_j,i∈Hom(A_i, B_j) ; de plus, sia= (a1, ..., ar)∈A,

ϕ(a) =

r

Y

i=1

(ψ1,i(ai), ..., ψs,i(ai)).

Il en r´esulte que l’application

Hom(A, B)→ Y

1≤i≤r;1≤j≤s

Hom(A_i, B_j) ϕ7→ (ψj,i)1≤i≤r;1≤j≤s

est un isomorphisme ; donc

Hom(A, B)' Y

1≤i≤r;1≤j≤s

Hom(Ai, Bj).

De mˆeme

Hom(B, A)' Y

1≤j≤s;1≤i≤r

Hom(Bj, Ai).

Il suffit donc d’´etablir que, pour tousiet j, l’on a Hom(A_i, B_j)'Hom(B_j, A_i) ;

en d’autres termes, nous nous sommes ramen´e au cas o`uA etB sont cycliques.

Soient doncA=< a >d’ordrem, etB=d’ordren, et posons

d=pgcd(m, n). En vertu du Th´eor`eme de Bachet–Bezout, il existe (x, y)∈Z² tel qued=xm+yn.

Soit alorsϕ∈Hom(A, B) ; ´ecrivonsϕ(a) =b^s. Il suit b^sm = (b^s)^m

= ϕ(a)^m

= ϕ(a^m)

= ϕ(1)

= 1 ,

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d’`ou

b^sd = b^s(xm+yn)

= b^sxmb^syn

= (b^sm)^x(bⁿ)^ys

= 1 , doncn=ω(b) divisesd, et n

d divises.

Soits=n

dt; alors, pour toutr∈N

ϕ(a^r) =ϕ(a)^r=b^sr=bⁿ^d^tr (∗).

R´eciproquement, pour chaquet∈Z, la relation ϕt(a^r) :=bⁿ^d^tr

d´efinit une application ϕt : A → B; en effet, a^r = a^r

0

entraˆıine m|r−r⁰, soit r−r⁰ =mr⁰⁰; mais alors

n dtr−n

dtr⁰ = n

dt(r−r⁰)

= n

dtmr⁰⁰

= n(tm dr⁰⁰), lequel est divisible parn, donc

bⁿ^d^tr=bⁿ^d^tr

0

.

Ce ϕt est donc un morphisme deAdans B, ne d´ependant que de la classe det modulod. On a donc

Hom(A, B) ={ϕ0, ..., ϕd−1}.

De plus, pour chaque t, ϕt = (ϕ1)^t dans Hom(A, B) ; Hom(A, B) est donc cyclique d’ordred=pgcd(m, n).

De mˆemeHom(B, A) est cyclique d’ordrepgcd(n, m) =d.

Remarque 2.2. Une autre démonstration du Théorème 2.1 peut être donnée au moyen de la théorie de la dualité : A est isomorphe (non canoniquement) à son groupe dual A^∗, et de même B à son groupe dual B^∗. Hom(A, B) est donc isomorphe àHom(A^∗, B^∗), lequel s’identifie,viatransposition, àHom(B, A).

Lemme 2.3. SoitGun groupe fini ab´elien ; alors|G|divise|Hom(G, G)|.

Démonstration. Reprenons la démonstration du Théorème 2.1 ; on peut écrire G comme produit direct de groupes cycliques

G=G₁×...×G_r

(|Gi|=gi) ; comme il a ´et´e vu, on a, en prenants=retBi =Ai=Gi : Hom(G, G)' Y

1≤i≤r;1≤j≤r

Hom(Gi, Gj).

(5)

De ce fait,Hom(G, G) contient le sous–groupe “diagonal ” H := Y

1≤i≤r

Hom(Gi, Gi).

Mais nous avons constaté que Hom(Gi, Gi) était isomorphe à Zpgcd(g_i,g_i) =Zg_i, donc àGi; H est donc isomorphe à

Y

1≤i≤r

G_i,

donc `aGlui–mˆeme.

Il existe donc un sous–groupe deHom(G, G) isomorphe àG, d’où le résultat en

vertu du Th´eor`eme de Lagrange.

Corollaire 2.4. Soient A etB deux groupes ab´eliens finis, C un sous–groupe de A etD un sous–groupe deB tels que B

D 'C; alors |C| divise|Hom(A, B)|.

D´emonstration. (Inspir´ee de [1], Theorem 4) Soit ϕ ∈Hom(B

D, C) ; pour b ∈ B, posons

i_ϕ(b) :=ϕ(¯b) ; alors

iϕ(b)∈C⊆A .(∗∗)

Il est clair d’apr`es (∗∗) quei_ϕ∈Hom(B, A), et que l’application Hom(B

D, C)→Hom(B, A) ϕ7→iϕ

est un morphisme de groupes, injectif ; Hom(B, A) contient donc un sous–groupe isomorphe `aHom(B

D, C), donc `a Hom(C, C).

3. Quatre r´esultats pr´eliminaires Proposition 3.1. SoitGun groupe tel que G

Z(G) soit d’ordre finim; alors

|G⁰| ≤m^2m³.

Démonstration. Ce résultat est implicite dans la démonstration de [2],(33.9), pp.

168–169.

(6)

Posons ¯G:= G

Z(G), et soit, poura∈G, ¯a:=aZ(G)∈ G

Z(G). Supposons ¯c= ¯a et ¯d= ¯b; alors il existe (z, z⁰)∈( G

Z(G))² tel quec=azetd=bz⁰. Mais alors

[c, d] = c⁻¹d⁻¹cd

= z⁻¹a⁻¹(z⁰)⁻¹b⁻¹azbz⁰

= z⁻¹(z⁰)⁻¹zz⁰a⁻¹b⁻¹ab(carzet z⁰ sont centraux)

= a⁻¹b⁻¹ab

= [a, b].

Le commutateur de deux éléments de G ne dépend donc que de leurs classes dans G

Z(G); vu que| G

Z(G)|=m, il y a au plusm²commutateurs distincts dansG.

Pour établir le résultat, il suffit donc de faire voir que chaque élément deG⁰ peut s’exprimer comme le produit dem³ commutateurs.

Soitx∈G⁰, et soitn le nombre minimal de termes dans une repr´esentation de xcomme produit de commutateurs :

x=c1...cn.

Si n ≤ m³, en complétant au besoin par m³ −n occurrences du commutateur 1 = [1,1] on obtient bien la représentation voulue. Supposons donc n≥ m³+ 1 ; nous allons obtenir une contradiction. Comme vu ci–dessus, il y a en tout au plusm² commutateurs dansG⁰; d’après le “principe des tiroirs”, un commutateur (notons–

lec) apparaˆıt donc au moins m+ 1 fois parmi lesc_i. Soienty etz deux commutateurs,y= [a, b] ; alors

yz = zy^z

= z[a, b]^z

= z[a^z, b^z].

Au moyen de cette identit´e, il est possible de faire glisser vers la gauche dans l’expression dexlesm+ 1 occcurrences decsusmentionn´ees ; on obtient donc une expression de la forme

x=c^m+1c⁰₁...c⁰_n−m−1

o`u lesc⁰_isont des commutateurs. Nous allons faire voir que l’on peut exprimerc^m+1 comme produit demcommutateurs, et doncxcomme produit dem+ (n−m−1) = n−1 commutateurs, contredisant ainsi la minimalit´e den.

(7)

Soit c = [u, v] ; du fait que | G

Z(G)|= m, on a (cZ(G))^m = 1 dans G Z(G), soit c^m∈Z(G) ; mais alors

c^m+1 = c^mc

= u⁻¹uc^mc

= u⁻¹c^muc(carc^m∈Z(G))

= u⁻¹c^m−1cu[u, v]

= u⁻¹c^m−1u⁻¹v⁻¹uvuu⁻¹v⁻¹uv

= u⁻¹c^m−1u⁻¹v⁻¹u²v

= u⁻¹c^m−1uu⁻²v⁻¹u²v

= (u⁻¹cu)^m−1[u², v]

est le produit de m−1 commutateurs, car u⁻¹cu =cû = [u, v]û = [u, vû] est un

commutateur.

Théorème 3.2. SoitGun groupe fini n’ayant aucun facteur direct abélien6={1}; alorsAut(G)contient un sous–groupe d’ordre|Hom(G

G⁰, Z(G))|.

Démonstration. ([1], Théorème 1, p. 137)

Les automorphismes de G agissant trivialement sur G

Z(G) forment un sous–

groupeAc deAut(G). Soitα∈Ac; pour chaquex∈Gon a α(x) =xθ_α(x)

avec

θ_α(x)∈Z(G),

et il est visible queθα est un morphisme deGdansZ(G). L’application A_c → Hom(G, Z(G))

α 7→ θα

est ´evidemment injective ; nous allons faire voir qu’elle est bijective.

Soit doncϕ∈Hom(G, Z(G)) ; il s’agit de montrer que l’application α : G→G

x7→xϕ(x) est un automorphisme deG; on aura alorsθα=ϕ.

Il est clair qu’il s’agit d’un morphisme de groupes ; G étant fini, il nous suffit d’établir son injectivité. Supposons donc ker(α) 6= {1}; nous allons obtenir une contradiction.

Le noyau ker(α) contient un ´el´ement xd’ordre premier p; on a alors xϕ(x) =α(x) = 1,

soitϕ(x) =x⁻¹. Notons ¯G:= G G⁰, et

π : G→ G G⁰ x7→xG⁰

(8)

la projection canonique.

G¯ étant abélien, on peut le décomposer en G¯=A×B

o`u A est d’ordre une puissance de p(|A|=p^r) et l’ordre de B n’est pas divisible parp. On a

¯

x^p= ¯x^p= ¯1 ;

de plus l’homomorphismeϕdeGdansZ(G) est trivial surG⁰ (carZ(G) est ab´elien) et

ϕ(x) =x⁻¹6= 1, d’o`ux /∈G⁰, ¯x6= ¯1 etω(¯x) =p.

Soit k le plus grand entier positif ou nul tel que ¯x soit une puissance p^k–`eme dans A; il est apparent que 0≤ k ≤r−1. Ecrivons ¯x =a^p^k (a ∈ A), et a = ¯z (z∈G) ; alors ¯x= ¯z^p^k= ¯z^p^k, soit x=z^p^kupour unu∈G⁰. Mais alors

x⁻¹ = ϕ(x)

= ϕ(z^p^ku)

= (ϕ(z))^p^kϕ(u)

= ϕ(z)^p^k. Soity:=ϕ(z)∈Z(G) ; alors

x=y^−p^k , y^p^k+1=x^−p= 1 et

y^p^k=x⁻¹6= 1, d’o`uω(y) =p^k+1. De plus

¯

y^p^k+1= ¯1 (en particulier, ¯y∈A) et

¯

y^p^k = ¯y^p^k = ¯x⁻¹6= ¯1 , d’o`uω(¯y) =p^k+1.

Dans ce qui suit, nous nous inspirons de [3], pp. 14-21.

Posonsu= ¯y, soit ¯A:= A

, et ´ecrivons ¯Acomme produit direct de groupes cycliques :

A¯=<a¯1>×...×<a¯r>

avecω( ¯a_i) =pⁿⁱ. On a donc a^p_iⁿⁱ ∈, soit a^p_iⁿⁱ =u^p^mi^sⁱ pour unm_i≥0 et uns_i non divisible par p.

Sim_i≥k+1, alorsu^p^mi = 1 et donca^p_iⁿⁱ = 1 ; nous supposerons donc dor´enavant quem_i≤k.

(9)

Soitti tel quesiti≡1[p]. On a

¯

x⁻¹ = (¯y)^p^k

= u^p^k

= u^p^k^sⁱ^tⁱ

= (u^p^mi^sⁱ)^p^k−^mi^tⁱ

= (a^p_iⁿⁱ)^p^k−^mi^tⁱ

= a^p_iⁿⁱ^p^k−^mi^tⁱ

= (a^t_iⁱ)^pⁿⁱ^+k−^mi

d’où, par définition de k, ni+k−mi ≤ k, et ni ≤ mi. En rempla¸cant ai par aiu^−p^mi⁻ⁿⁱ^sⁱ (ce qui ne change pas la classe deai modulo ), on peut donc supposer quea^p_iⁿⁱ = 1, donc queω(ai) divisepⁿⁱ. Mais pⁿⁱ = ω( ¯ai) divise ω(ai), d’oùω(ai) =ω( ¯ai) =pⁿⁱ.

Mais alors de

a^m₁¹...a^m_r^r = 1 suit

¯

a₁^m¹...a¯_r^m^r = 1 ;

donc chaque ¯ajm_j vaut ¯1, soitpⁿ^j |mj; mais alorsa^m_j^j = 1. SoitC:=< a1, ..., ar>; il apparaˆıt que, d’une part, le groupeCest le produit direct des groupes < ai>:

C=< a1>×...×< ar> ,

(d’o`u|C|=pⁿ¹^+...+n^r =|A|) et d’autre part que¯ C∩={1}; il s’ensuit que A=×C=<y >¯ ×C .

Soient M := π⁻¹(C) et N := π⁻¹(B) ; alors M et N sont des sous–groupes distingu´es de G, donc

H =M N :={uv|u∈M, v∈N}

est un sous–groupe (distingu´e) deG.

Soitg∈G;alorsπ(g)∈G, donc¯ π(g) est repr´esentable sous la formeab (a∈A, b∈B) ; ´ecrivons a= (¯y)^mc pour m∈Zetc∈C. Soitr∈Gtel queπ(r) =b; en particulier,r∈π⁻¹(B) =N. Il apparaˆıt que

π(g) = ab

= π(y)^mcb

= π(y^m)cπ(r) et

π(y^−mgr) =c∈C , soity^−mgr∈π⁻¹(C) =M et

g=y^m(y^−mgr)r⁻¹∈< y > M N =< y > H; donc

G=< y > H .

Supposons maintenant quey^s∈H pour uns∈Z; alors

¯

y^s= ¯y^s=π(y^s)∈π(M N)⊆BC=C×B ⊆A×B ,

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d’o`u ¯y^s∈C(car l’ordre de ¯y^sest une puissance dep), puis ¯y^s= ¯1. Mais cela signifie queω(y) =ω(¯y) divises, doncy^s= 1.

Nous venons de montrer que

< y >∩H ={1}; y´etant central dansG, il s’ensuit que

G=< y >×H

et< y >est un facteur direct abélien non–trivial deG, contrairement à l’hypothèse.

Nous avons établi queAut(G) contenait un sous–groupe d’ordre|Hom(G, Z(G))|; mais, comme précédemment observé, un homomorphisme deGdansZ(G) doit être trivial surG⁰ , etHom(G, Z(G)) s’identifie donc àHom(G

G⁰, Z(G)).

Théorème 3.3. SoitGun groupe fini abélien ; alors

|Aut(G)| ≥φ(|G|)

D´emonstration. Nous suivrons le raisonnement de Wilson ([4], p.2).

Supposons d’abord|G|=pⁿ (ppremier,n≥1), et soit p^r=e(G) l’exposant de G:

p^r= max{ω(x)|x∈G}.

Sixetysont deux éléments deGd’ordrep^r, il résulte du théorème de structure des groupes commutatifs finis l’existence de deux sous–groupesH1et H2deGtels que G =< x > ×H₁, G =< y > ×H₂ et H₁ ∼= H₂. Soit ψ : H₁ −→^∼ H₂ un isomorphisme ; alorsβ :G→Gdéfini par

∀n∈Z∀h₁∈H₁β(x^mh₁) =y^mψ(h₁) d´efinit un automorphisme de Gtel que β(x) =y.

Le groupeAut(G) agit donc transitivement sur l’ensemble O:={x∈G|ω(x) =p^r}. Mais

G\ O={x∈G|x^p^r−1 = 1}

est un sous–groupe strict deG, donc|G\ O| ≤ |G|

p , et

|O| ≥(1−1

p)|G|= (p−1)pⁿ⁻¹ . SoitA=CAut(G)(x) ; on a donc

|Aut(G)|

|A| = |O|

≥ pⁿ⁻¹(p−1), d’o`u

|Aut(G)| ≥pⁿ⁻¹(p−1)|A| ≥pⁿ⁻¹(p−1) . Soit maintenant Gd’ordre n=Qk

i=1pâ_iⁱ (les p_i étant premiers et deux à deux distincts,a_i≥1) ; alors on peut écrireGcomme produit direct de sous–groupes

G=

r

Y

i=1

G_i

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avec|Gi|=p^a_iⁱ. Alors

Aut(G) =Aut(

r

Y

i=1

Gi)

contient (en fait, il co¨ıncide avec) un sous–groupe isomorphe `a

r

Y

i=1

Aut(G_i). Il en r´esulte que

|Aut(G)| ≥ |

r

Y

i=1

Aut(Gi)|

=

r

Y

i=1

|Aut(G_i)|

≥

r

Y

i=1

pâ_iⁱ⁻¹(pi−1) (d’après le résultat ci–dessus)

= φ(n)

= φ(|G|).

Remarque 3.4. Il est assez facile de voir que l’inégalité du Théorème 3.3 est stricte, sauf lorsqueGest cyclique.

Corollaire 3.5. Il existe une fonction croissanteh:N^∗→N^∗ telle que, pour tout groupe fini ab´elienG, l’on ait

|G| ≤h(|Aut(G)|).

Démonstration. Soitn=|Aut(G)|; d’après le Théorème 3.3, φ(|G|)≤n.

Or, pour chaquek≥1, l’ensemble

Ek:={m∈N^∗|φ(m) =k}

est fini ; soit

ek :=

max(Ek) siEk 6=∅ 0 sinon. Il est clair que la fonctionhd´efinie par

h(n) = max(e₁, ..., e_n) convient.

(12)

4. Démonstration du Théorème

Soit doncGun groupe fini,|Aut(G)|=m. Choisissons un facteur direct abélien EdeGd’ordre maximal ; alors il existe un sous–groupeHdeGtel queGsoit le produit direct deEet deH. Par construction,H n’a aucun facteur direct abélien non trivial ; en conséquence (Théorème 3.2), l’ordre de Hom(H

H⁰, Z(H)) divise l’ordre deAut(H).

De plus,Aut(G) =Aut(E×H) contient un sous–groupe isomorphe `a Aut(E)×Aut(H),

d’o`u

|Aut(E)||Aut(H)| ≤ |Aut(G)|=m(∗ ∗ ∗).

Z(H)| ≤ m, donc, en vertu de la Proposition 3.1,|H⁰| ≤m^2m³. De plus

|H| ≤m|Z(H)|. Appliquons maintenant le Corollaire 2.4 avecA= H

H⁰,C=Z(H)H⁰ H⁰ , B=Z(H) etD=Z(H)∩H⁰; il s’av`ere que

| Z(H)

Z(H)∩H⁰|=|Z(H)H⁰ H⁰ | divise|Hom(H

H⁰, Z(H))|, donc divise|Aut(H)|. En particulier

|Z(H)|

|Z(H)∩H⁰| ≤ |Aut(H)|

= m(d’apr`es (***)), et

|Z(H)| ≤ m|Z(H)∩H⁰|

≤ m|H⁰|

≤ m.m^2m³

= m^2m³⁺¹. Donc|H| ≤m^2m³⁺², et

|G|=|E||H| ≤h(m)m^2m³⁺² . D’o`u le r´esultat avec

f(m) :=m^2m³⁺²h(m).

Remarque 4.1. Il est facile d’´etablir l’existence d’une constante C telle que

∀m≥2h(m)≤Cmln(m) ;

(13)

cela fournit une estimation du type

f(m)≤Cm^2m³⁺³ln(m). Ce r´esultat est probablement loin d’ˆetre optimal !

R´ef´erences

[1] J. E. Adney and Ti YenAutomorphisms of ap–group, Illinois J. Math. 9(1), 1965, 137–143.

[2] M. AschbacherFinite group theory, Cambridge University Press, 1986.

[3] I. KaplanskyInfinite abelian groups, Ann Arbor, 1969.

[4] R. A. Wilson Finite groups with small automorphism groups, 2004 ; disponible `a http ://www.maths.qmul.ac.uk/ raw/.