Un th´eor`eme de Perron-Frob´enius d´emontr´e
`a l’aide du th´eor`eme de Brouwer
Mohammed Aassila, universit´e de Strasbourg 7 novembre 2001
Mots-cl´es: point fixe, valeur propre.
Th´eor`eme.
Une matriceM ∈ M(n,R) dont tous les ´el´ements sont> 0a au moins une valeur propre> 0.
Preuve.
Soit
S = {(x1, x2,· · ·, xn) ∈Rn | x1, x2,· · ·, xn ≥ 0,
x1 +x2 +· · ·+xn ≥ 1, x21 +x22 +· · ·+x2n ≤ 1}.
D´efinissons l’application f : S → S par f(−→v) = M−→v
|M−→v |. La fonc- tionf est bien d´efinie et continue. De plus,S est ferm´e, born´e (donc com- pact) et convexe (comme intersection de convexes). Donc, par le th´eor`eme de point fixe de Brouwer f admet un point fixe, c’est-`a-dire pour un −→v ∈ S, f(−→v ) = −→v = M−→v
|M−→v |, ce qui entraˆıne que M−→v = λ−→v avec λ =
|M−→v| > 0.
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