1.2 Actions d’un groupe fini sur un ensemble fini

101 - Groupe op´ erant sur un ensemble.

Exemples et Applications.

Version ambitieuse

1 G´ en´ eralit´ es sur les actions de groupes

1.1 D´ efinitions et ´ enonc´ es g´ en´ eraux

D´efinition 1.1. SoitGun groupe etX un ensemble. Une action (`a gauche) deGsurX est la donn´ee d’un morphisme de groupesρ:G→S(X), o`u S(X) d´esigne le groupe des bijections (permutations) de l’ensemble X.

Remarque 1.2. Cette d´efinition ´equivaut `a la donn´ee d’une application G×X →X not´ee (g, x)7→g·x, v´erifiant

— pour toutx∈X, 1·x=x.

— pour toutg, g⁰∈Getx∈X, (gg⁰)·x=g·(g⁰·x).

Exemples :

— Le groupeGagit sur lui-mˆeme par translation :g·x=gx; par conjugaison :g·x=gxg⁻¹.

— SiHest un sous-groupe deG,Gagit naturellement sur l’ensembleX :=G/Hdes classes

`

a gauche deH dansGviag·(g⁰H) := (gg⁰)H.

— Pour tout ensembleX, le groupeS(X) agit naturellement surX, viaσ·x:=σ(x).

— SiKest un corps etV unK-espace vectoriel, GL(V)⊂S(V) agit surV.

On dispose d’une relation d’´equivalence naturellement associ´ee `a une action de groupe : si x, x⁰ ∈X, on dit quexetx⁰ sont ´equivalents s’il existeg∈Gtel quex⁰=g·x.

D´efinition 1.3. SoitX un ensemble muni d’une action d’un groupeG.

1. les orbites pour cette action sont les classes d’´equivalence associ´ees. Pour tout x∈ X, on note O(x) l’orbite dexsous G. On note X/Gl’ensemble des orbites.

2. pour tout x∈X,Gx:={g∈G:g·x=x} est un sous-groupe deGappel´e stabilisateur.

3. pour tout g∈G, on noteFixX(g) :={x∈X :g·x=x}, appel´e le fixateur de g.

4. l’action est dite fid`ele (resp. libre) si le morphisme ρest injectif (resp. si tous les stabi- lisateurs sont r´eduits `a{1}).

5. soit n≥1. On dit que l’action estn-transitive si pour tout (x1, . . . xn, y1, . . . , yn)∈X²ⁿ tels quexi6=xj etyi 6=yj pour touti6=j, il existe g∈Gtel queg·xi=yi pour touti.

6. on note X^G:={x∈X:∀g∈G, g·x=x} l’ensemble des points fixes deGdansX. Exemples :

— l’action par translation deGsur lui-mˆeme est libre, donc fid`ele, et elle est transitive.

— l’action par conjugaison deGsur lui-mˆeme est fid`ele ssi le centre deGest trivial. Cette action est libre (resp. transitive) ssiG={1}. Les orbites sont les classes de conjugaison.

— l’action deS(X) surX est fid`ele et transitive.

— l’action de GL(V) surV est fid`ele. Elle est transitive si et seulement siV ={0}. Sinon, cette action a exactement deux orbites :{0} etV \ {0}.

Proposition 1.4. Soit X un ensemble muni d’une action d’un groupe G. Alors pour tout x∈X et g∈G,G_g·x=gGxg⁻¹ et on a une bijectionG-´equivarianteG/Gx

−∼→ O(x).

1.2 Actions d’un groupe fini sur un ensemble fini

Proposition 1.5. SoitX un ensemble fini muni d’une action d’un groupe fini G.

1. (´equation aux classes) |X|=P

ω∈X/G|ω|=P

O(x)∈X/G

|G|

|Gx|. 2. (formule de Burnside)|X/G|=_|G|¹ P

g∈G|FixX(g)|.

Remarque 1.6. L’´egalit´e 2 dit que le nombre moyen de points fixes d’un ´el´ement deGest le nombre d’orbites. Ainsi une permutation al´eatoire deSn a-t-elle en moyenne un point fixe.

Exemple :Si Gagit sur lui-mˆeme par conjugaison, on obtient les relations suivantes :

— |G| = |Z(G)|+P

g∈C_G\Z(G)

|G|

|ZG(g)|, o`u C_G ⊂ G est un ensemble de repr´esentants des classes de conjugaison,ZG(g) est le centralisateur deg etZ(G) est le centre deG.

— |CG|= _|G|¹ P

g∈G|ZG(g)|.

Une application classique de l’´equation aux classes (pour l’action des inversibles d’un corps par conjugaison) :

Th´eor`eme 1.7(*). (Wedderburn) Une alg`ebre `a division finie est un corps.

2 Applications ` a la th´ eorie des groupes

2.1 Groupe sym´ etrique

Proposition 2.1. SoitGun groupe fini.

1. (Cayley) Il existen∈Ntel queG soit un sous-groupe deSn (avecn≤ |G|).

2. Pour tout corpsK, il existentel queGsoit un sous-groupe de GLn(K).

Cons´equence :Un groupe d’ordre 2m, avecmimpair, n’est pas un groupe simple.

Th´eor`eme 2.2. Tout permutation de S<sub>n</sub> s’´ecrit de fa¸con unique (`a l’ordre pr`es) comme produit de cycles `a supports disjoints.

Proposition 2.3 (**). SoitH ⊂Sn un sous-groupe d’indice 2≤k≤n. Alors soitk= 2et H =An, soit k=net H est isomorphe `aS_n−1.

SoitA un anneau commutatif, on d´efinit l’action deSn sur laA-alg`ebreA[X1, . . . , Xn] par σ·Xi:=Xσ(i). Un polynˆomeP est dit sym´etrique si pour tout σ∈Sn,σ·P =P. On note σ1, . . . , σn∈A[X1, . . . , Xn] les polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires.

Th´eor`eme 2.4 (**). Le morphisme de A-alg`ebres A[Y₁, . . . , Y_n] → A[X₁, . . . X_n] d´efini par Y_i 7→ σ_i(X₁, . . . X_n) est injectif d’image A[X₁, . . . , X_n]^Sn : tout polynˆome sym´etrique s’´ecrit de fa¸con unique comme un polynˆome en les polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires.

2.2 R´ esultats simples de structure des groupes finis

Lemme 2.5. Soit G un groupe de cardinal pⁿ (un p-groupe), o`u p est un nombre premier, agissant sur un ensemble finiX. Alors|X^G| ≡ |X|(mod p).

En consid´erant une action deZ/pZ, on montre :

Th´eor`eme 2.6 (*). (Cauchy) Soit G un groupe fini et p un nombre premier divisant |G|.

AlorsGcontient un ´el´ement d’ordrep.

1

En utilisant l’´equation aux classes pour l’action deGsur lui-mˆeme par conjugaison : Proposition 2.7. SoitGun p-groupe, o`upest un nombre premier.

Alors le centre deGest non trivial. En particulier, le groupeGest nilpotent.

Proposition 2.8 (*). Soit G un groupe fini et ple plus petit nombre premier divisant |G|.

Alors tout sous-groupe deGd’indice pest distingu´e.

2.3 Th´ eor` emes de Sylow

En utilisant le th´eor`eme de Cayley et l’action deGpar conjugaison, on montre : Th´eor`eme 2.9(***). SoitGun groupe fini de cardinaln=p^αm, avec (m, p) = 1.

1. Il existe un sous-groupe de Gde cardinalp^α, appel´e unp-sous-groupe de Sylow de G.

2. Tout p-sous-groupe de Gest contenu dans unp-Sylow de G.

3. SiS etT sont deuxp-Sylow de G, alors il existe g∈G tel queT =gSg⁻¹. 4. Sin_p d´esigne le nombre dep-Sylow deG, alors n_p divisem etn_p≡1 (modp).

Cons´equences :

— Un groupe d’ordre<60 n’est pas simple.

— (**)A5 est l’unique groupe simple d’ordre 60.

—

(***) SiGest un groupe fini simple non cyclique, alors soit son cardinal est divisible par 12, soit le plus petit facteur premier de son cardinal apparaˆıt au moins au cube dans la d´ecomposition en facteurs premiers.

— Un groupe d’ordre 60< . <168 n’est pas simple.

— (***) SL3(F2)∼= PSL2(F7) est l’unique groupe simple d’ordre 168.

2.4 Produit semi-direct

D´efinition 2.10. Soit N, H deux groupes, et ρ : H → Aut(N) un morphisme de groupes.

On d´efinit G := N oρ H comme l’ensemble N ×H muni de la loi de composition interne (n, h)·(n⁰, h⁰) := (nρ(h)(n⁰), hh⁰). AlorsGest un groupe, le produit semi-direct de H parN.

Exemples :Le groupe di´edral Dn des isom´etries du polygone r´egulier `ancˆot´es est isomorphe

`

aZ/nZ o Z/2Z. Le groupeS3est isomorphe `a Z/3Z o Z/2Z. Cons´equences :

— (***) classification des groupes d’ordre≤15.

— (***) classification des groupes d’ordrepq,p³, avecpetqpremiers.

— description du groupe affine d’un espace affine.

2.5 Repr´ esentations lin´ eaires d’un groupe

Par d´efinition, une repr´esentation lin´eaire d’un groupeGdans unK-espace vectorielV est une action (lin´eaire) de GsurV, i.e. un morphismeρ:G→GL(V).

Exemples :

— Toute repr´esentation complexe est somme directe de repr´esentations irr´eductibles.

— (**/***) Table de caract`eres de S<sub>4</sub> (resp.A<sub>5</sub>) en lien avec les isom´etries du t´etra`edre (resp. du dod´eca`edre).

— (***) Tout groupe fini d’ordrep^αq^β, avecpetqpremiers, est r´esoluble (Burnside).

— (**) Tout sous-groupe compact maximal de GLn(R) est conjugu´e `a On(R).

3 Applications ` a la g´ eom´ etrie

3.1 G´ eom´ etrie affine

D´efinition 3.1. SoitKun corps. Un espace affine surKest un ensembleE muni d’une action libre et transitive du groupe additif d’unK-espace vectorielE.

Si on note GA(E) le groupe des transformations affines de E, l’action de GA(E) sur E est transitive. Le choix d’un point deE induit un isomorphisme GA(E)∼=EoGL(E).

3.2 G´ eom´ etrie projective

SiK est un corps etV unK-espace vectoriel, on a l’action naturelle de PGL(V) surP(V).

Th´eor`eme 3.2(**). On note n:= dim(V).

L’action dePGL(V)sur P(V)est libre et n-transitive. Elle n’est pas(n+ 1)-transitive.

Si n = 2, on a une bijection naturelle (appel´ee birapport) entre l’ensemble des orbites de PGL(V)dans l’ensemble des quadruplets de points distincts deP(V) etK\ {0; 1}.

En utilisant la 2-transitivit´e de cette action, on montre (m´ethode d’Iwasawa) :

Th´eor`eme 3.3(**). Le groupePSL(V)est simple, sauf sidim(V) = 2 et|K|= 2 ou3.

Th´eor`eme 3.4 (**). (Isomorphismes exceptionnels) On a des isomorphismes canoniques de groupes :PSL2(F2)∼=S3,PSL2(F3)∼=A4,PSL2(F4)∼=A5,PSL2(F5)∼=A5.

3.3 G´ eom´ etrie euclidienne

D´efinition 3.5. SoitE un espace affine euclidien de dimensionn. Un poly`edre convexeP deE est dit r´egulier si le groupe des isom´etries dePagit transitivement sur les suites(F0, . . . , F<sub>n−1</sub>), o`uFi est une face deP de dimension i, avec Fi ⊂Fi+1, pour touti.

Th´eor`eme 3.6. SoitE un espace affine euclidien de dimension 3.

— (*) Le groupe des isom´etries (resp. directes) du t´etra`edre est isomorphe `aS₄(resp.A₄).

— (**) Celui du cube ou de l’octa`edre est isomorphe `aS₄×Z/2Z(resp. S₄).

— (***) Celui du dod´eca`edre ou de l’icosa`edre est isomorphe `aA₅×Z/2Z(resp.A₅).

R´eciproquement, on dispose de la classification des sous-groupes finis de SO₃(R) :

Th´eor`eme 3.7 (**). SoitE un espace affine euclidien de dimension 3. Soit G⊂Isom<sup>+</sup>(E) un sous-groupe fini. AlorsGest isomorphe `aZ/nZ,Dn,A4,S4 ouA5.

D´efinition 3.8. Soit E un espace affine euclidien. Un pavage de E est un couple (P, G), o`u P ⊂ E est compact connexe d’int´erieur non vide etG⊂Isom⁺(E)est un sous-groupe tel que

1. E =S

g∈Gg(P).

2. pour tousg, h∈G,g(P)∩h(P)6=∅ =⇒ g=h.

Proposition 3.9 (**). A conjugaison pr`` es dans GA(E), il y a exactement cinq tels sous- groupesG. Si on remplace Isom⁺(E) parIsom(E), on trouve17 sous-groupes convenables.

Etudions maintenant les angles et les rotations.´ 2

D´efinition 3.10. SoitP un plan euclidien. Le groupeSO(P)agit librement et transitivement sur la sph`ere unit´e. Soient u, v ∈ P de norme 1. La mesure de l’angle (u, v) est l’unique θ∈R/2πZ tel queR_θu=v.

L’action du groupe U des nombres complexes de module 1 sur R² permet d’identifier U ∼= SO2(R). On note H la R-alg`ebre des quaternions et G ⊂ H^× le groupe des quater- nions de norme 1. Alors, en consid´erant l’action de H^× sur H par conjugaison, on obtient :

Th´eor`eme 3.11 (**). On a des isomorphismes canoniques : G/{±1}−^∼→SO₃(R) et(G×G)/{±(1,1)}−^∼→SO₄(R).

3.4 G´ eom´ etrie hyperbolique

On noteH:={z ∈C: Im(z)>0}. On dispose d’une action transitive de PSL2(R) sur H par homographies, via la formule

a b c d

·z:=^az+b_cz+d; on en d´eduitH ∼= SL2(R)/SO₂(R).

Th´eor`eme 3.12 (**). L’action de PSL2(Z) sur H admet pour domaine fondamental l’en- sembleD:={z∈C:|z| ≥1 et|Re(z)| ≤ ¹₂}.

Remarque 3.13. Le quotient H/PSL2(Z) (et donc le domaine fondamental D) est li´e

´egalement `a la classification des r´eseaux deR². Corollaire 3.14(**). SL₂(Z)est engendr´e parT :=

1 1 0 1

etS :=

0 −1

1 0

.

4 Applications ` a l’alg` ebre lin´ eaire

4.1 Bases

SoitK un corps etV unK-espace vectoriel de dimension finie n. On dipose d’une action naturelle de GL(V) sur l’ensembleBV des bases deV. Cette action est libre et transitive.

D´efinition 4.1. Si K = R et V est euclidien, le sous-groupe SO(V) ⊂ GL(V) agit sur les bases orthonorm´ees deV selon deux orbites, appel´ees orientations de V.

4.2 Actions par translation

Le groupe GL(V) (resp. GL(U)) agit sur HomK(U, V) par translation `a gauche (resp. `a droite). Les orbites sont caract´eris´ees par le noyau (resp. l’image) des applications lin´eaires.

4.3 Matrices semblables, matrices ´ equivalentes

On consid`ere l’action de GL_n(A)×GL_p(A) sur Mat_n,p(A) donn´ee par (P, Q)·M :=P M Q⁻¹ (´equivalence des matrices), et l’action de GLn(A) sur Matn(A) donn´ee parP·M :=P M P⁻¹ (similitude des matrices).

Th´eor`eme 4.2. SoitAun anneau principal. On note r:= min(n, p).

Alors les classes d’´equivalence de matrices dans Matn,p(A) sont donn´ees par les facteurs invariants : pour tout M ∈ Matn(A), il existe d1, . . . , dr ∈A (uniques modulo A^×) tels que di|di+1 pour toutiet M est ´equivalente `adiag(d1, . . . , dr).

Remarque 4.3. En particulier, siAest un corps, les classes d’´equivalence sont caract´eris´ees par le rang des matrices (il y en a donc exactementn+ 1).

Th´eor`eme 4.4. SoitK un corps. Alors les classes de similitudes de matrices dansMat<sub>n</sub>(K) sont donn´ees par les invariants de similitude : pour toutM ∈Mat<sub>n</sub>(K), il existe des polynˆomes unitaires (uniques) P<sub>1</sub>, . . . , P<sub>r</sub> ∈ K[X] tels que P<sub>i</sub>|Pi+1 pour tout i et M soit semblable `a diag(C(P₁), . . . , C(P_r))(o`u C(P)d´esigne la matrice compagnon deP).

Remarque 4.5. De mˆeme, la classification des formes quadratiques sur un corps K peut s’interpr´eter comme la description des orbites pour l’action de GL_n(K) sur les matrices sym´etriques Sym_n(K) d´efinie parA·M :=AM^tA.

4.4 D´ ecomposition de Bruhat et action sur les drapeaux

SiK est un corps, GLn(K) agit transitivement sur l’ensembleDdes drapeaux deKⁿ. Th´eor`eme 4.6(**). (Bruhat) SoitKun corps. NotonsT (resp.U) le sous-groupe deGL_n(K) form´e des matrices triangulaires sup´erieures (resp. unipotentes sup´erieures). Alors

GL_n(K) = G

σ∈Sn

U P_σT .

D´ecrivons les orbites de l’action de GL_n(K) sur les paires de drapeaux :

Corollaire 4.7(**). On a une bijection canonique (D × D)/GLn(K)−^∼→Sn. En particulier, cette action a exactementn! orbites.

5 Applications en combinatoire et en arithm´ etique

5.1 Colliers de perles

On cherche `a d´enombrer les colliers `a 9 perles dont 4 bleues, 3 blanches et 2 rouges. En utilisant une action du groupe di´edralD₉, on trouve qu’il y a exactement 76 tels colliers (*).

5.2 Coloriage de poly` edres

On d´enombre les coloriages des faces d’un poly`edre avec n couleurs (`a rotation pr`es).

Th´eor`eme 5.1 (**). SoitX un ensemble fini muni d’une action d’un groupe fini G. Soit C={1, . . . , n}l’ensemble des couleurs. Un coloriage deX (avec au plusn couleurs) est un

´

el´ement deC^X.

Alors le nombre de coloriages de X (modulo G) est exactement N = _|G|¹ P

σ∈Gn^λ(σ), o`u λ(σ)est le nombre de cycles deσvu comme permutation de X.

Exemple :(**) Il y a exactement N =^n6+3n4+12n₂₄ ³⁺⁸ⁿ² coloriages des faces du cubes avec (au plus)ncouleurs (`a rotation pr`es).

Remarque 5.2. Ce th´eor`eme est un cas particulier du th´eor`eme de Poly`a.

5.3 Th´ eor` eme des deux carr´ es

Soitpun nombre premier,p≡1 (mod 4). En munissantX :={(x, y, z)∈N³:x²+ 4yz=p}

d’une action deZ/2Z, on montre facilement quepest somme de deux carr´es d’entiers.

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