GROUPE DES PERMUTATIONS D’UN ENSEMBLE FINI. APPLICATIONS.

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�� GROUPE DES PERMUTATIONS D’UN ENSEMBLE FINI. APPLICATIONS.

SoitEun ensemble de cardinal fininœN^ú. D��. [S(E),�� Sn]

On noteS(E)le groupe des permutations deE(bijections deEdans lui-même). Il est de cardinaln!. On noteSn=S(J1, nK)le groupe symétrique.

Pour‡œSn, on note‡=3 1 2 3 . . . n

‡(1) ‡(2) ‡(3) . . . ‡(n) 4

.

P��. On aS(E)ƒSn.

R��. Ainsi on étudiera dans cette leçon uniquement le groupeSn. T��. [�� C��]

SiGest un groupe fini de cardinaln,Gest isomorphe à un sous-groupe deSn.

I. Le groupe S

_n

: éléments et générateurs

I. A. Orbites et cycles

[Rom��, §�.�/�.�, p��]

On considère l’action naturelle deSnsurJ1, nK:(‡, k)‘≠æ‡(k).

Soit‡œSnetkœJ1, nKfixés.

On noteO‡(k) ={‡^q(k)|q œZ}l’orbite dekpar l’action restreinte àÈ‡Í. D��. [�� ’�� ]

On appelle support de‡l’ensembleSupp(‡) ={xœJ1, nK|‡(x)”=x}. D��. [¸-��]

‡est un¸-cycle s’il n’y a qu’une unique orbite non ponctuelle et qu’elle est de cardinal¸. On note alors‡= (x‡(x) . . . ‡^¸≠1(x))oùxest un élément de l’orbite non ponctuelle.

Lorsque¸= 2, on parle de transposition.

E��. Considérons‡=3 1 2 3 4 5 6 5 2 4 6 1 3

4

etc=3 1 2 3 4 5 5 2 1 4 3

4 . On aO‡(1) ={1,5},O‡(2) ={2}etO‡(3) ={3,4,6}.

‡n’est pas un cycle mais un produit de�cycles :‡= (1 5)(3 4 6).c= (1 5 3)est un3-cycle.

P��.

• Un¸-cycle est d’ordre¸,

• �cycles à supports disjoints commutent,

• Pour‡œSn, on a‡¶(i1i2 . . . i¸)¶‡^≠1= (‡(i1)‡(i2) . . .‡(i¸)) E��. (1 4)(2 1 5 3 4)(1 4) = (2 4 5 3 1).

T��. [�� C��] [Rom��, §�.�, p��–��]

Sipest un diviseur premier den, alors il existe un élément d’ordrepdansG.

I. B. Générateurs et classes de conjugaisons

[Rom��, §�.�–�.�, p��–��]

P��. Toute permutation deSnse décompose en un produit de (au plusn≠1) transpositions.

E��. (4 3 1) = (4 3)(3 1) = (3 1)(1 4).

A��. Les familles suivantes engendrentSn:

• les transpositions(1i)2ÆiÆn,

• les transpositions(i i+ 1)1ÆiÆn≠1,

• la transposition(1 2)et le cycle(1 2 . . . n).

P��. Toute permutation‡deSn se décompose en un produit de cycles à supports disjoints. Ce produit est unique à l’ordre des cycles près. En particulier, la suite (¸1,¸₂, . . . ,¸m)des longueurs des cycles est unique si on impose¸₁ Ø ¸₂ Ø · · · Ø ¸m. On appelle cette suite le type de‡.

E��. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 3 2 7 5 10 8 1 6 9

4= (1 4 7 8)(2 3)(6 10 9).

P��. [�� Sn]

Deux permutations deSnsont conjuguées si et seulement si elles ont même type.

A��. Le nombre de classes de conjugaison est le nombre de partitions den.

Calcul du cardinal de la classe de conjugaison associée au type(¸1, . . . ,¸m). Deux calculs pro- posés, où l’on notepk= card({i|¸i=k}):

A_m Ÿ

i=1

3n≠q

j<i¸j

¸i

4(¸i≠1)!

B

◊ A _n

Ÿ

k=1

1 pk!

B

= n!

rn

k=1k^p^kpk!

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

E��. Liste des éléments deS5regroupés par classe.

P��. L’ordre de‡est lePPCMde son type.

E��. (1 4 7 8)(2 3)(6 10 9)est de type(4,2,3)et donc d’ordre12.

II. Autour du groupe alterné

II. A. Signature et groupe alterné

[Rom��, §�.�–�.�, p��]

P��. Il existe deux morphismes deSndansC^ú: l’identité et le morphismeEqui envoie toute transposition sur≠1.

D��. [��,�� ]

On appelleEl’application signature. On définit le groupe alternéAn = kerE. P��.

• Eest à valeurs dans{≠1,1},

• La signature d’un¸-cycle vaut(≠1)^¸+1,

• Pour‡œSn, on aE(‡) = r

1Æi<jÆn

‡(i)≠‡(j)

i≠j = (≠1)^i(‡)oùi(‡)est le nombre d’in- versions de‡.

P��. Anest un sous-groupe distingué deSn, de cardinaln!/2.

P��. PournØ5,Anest simple.

II. B. Applications à l’étude des sous-groupes de S

n [Rom��, Ch�, p��]

C��. PournØ5, les seuls sous-groupes distingués deSnsont{Id},AnetSn. A��. Les sous-groupes d’indicendeSnsont isomorphes àSn≠1.

R��. SnÒæAn+2. P��. [��]

• PournØ3,Z(Sn) ={Id},

• PournØ4,Z(An) ={Id}.

P��. [�� ]

• D(Sn) =An

• D(An) =AnpournØ5.

A��. Treillis deS₃,S₄,A₃,A₄, ... [voir annexe]

III. Applications du groupe symétrique

III. A. Dérangements

[Rom��, Ch�, p��–��/��]

D��. PournœN^ú, on appelle dérangement denune permutation deJ1, nKsans point fixe. On notednle nombre de dérangements den.

P��. On adn=n!qn

k=0(≠1)^k k! .

C��. Le nombre de permutations deSnayant exactementrpoints fixes est

!r n

"

dn≠r= ^n!_r! qn≠r k=0 (≠1)^k

k! .

III. B. Déterminants

[Gou��, §�.�, p��–��]

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finienoùKest un corps commutatif.

T��. [��  n(E)]

L’ensemble n(E)des formesn-linéaires alternées deEest un espace vectoriel de dimension

�. Il existe une unique formen-linéaire alternée égale à�sur une base donnée deB. D��. [�� ]

SoitBune base deE. On appelle déterminant dans la baseB, et on notedetB, l’unique formen-linéaire alternée égale à�surB.

On appelle déterminant deAœMⁿ(K)le déterminant des vecteurs colonnes deAdans la base canonique deKⁿ. On le notedet(A).

C��. [�� det_B]

Soientx1, . . . , xndes vecteurs deE. En notant(xi,1, . . . , xi,n)les coordonnées dexidans une baseBdeE, on a :

detB(x1, . . . , xn) = ÿ

‡œSn

Á(‡)x1,‡(1)◊· · ·◊x_n,‡(n)

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E��. Règle deS��: déterminant en dimension3. [voir annexe]

A��. Il y a plus (resp. moins) de dérangements impairs que de dérangements pairs dansSnlorsquenest pair (respn >1impair).

III. C. Matrices de permutation et représentation

[Rom��, §�.�.�, p��–��]

SoitKun corps commutatif.

D��. [�� ]

Pour‡ œ Sn, on appelle matrice de permutation associée à‡la matriceP‡définie par (P‡)i j=1_i=‡(j).

E��. P_Id=InetP_{(1 2 3}_{... n)}= Q cc cc cc ca

0 0 0 . . . 0 1 1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 0 0 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ...

0 0 0 . . . 1 0 R dd dd dd db .

T��. P: Sn ≠æ GLⁿ(K)

‡ ‘≠æ P‡ est un morphisme de groupe injectif et on a det(P‡) =E(‡).

Autrement dit on a une représentation naturelle deSndansKⁿ.

III. D. Polynômes symétriques

[Rom��, §�.�.�, p��–��]

SoitKun corps commutatif de caractéristique di�érente de�.

D��. [�� ]

On dit queP œK[X1, . . . , Xn]est symétrique si :

’‡œSn, P(X‡(1), . . . , X_‡(n)) =P(X1, . . . , Xn) E��. Les polynômesSk,n = q

1Æi1<i2<···<ikÆnXi1Xi2. . . Xin(pour0 Æ k Æ n) sont des polynômes symétriques, appelés polynômes symétriques élémentaires.

T��. SoitP œK[X1, . . . , Xn]un polynôme symétrique. Alors il existe un polynôme QœK[X1, . . . , Xn]tel queP(X1, . . . , Xn) =Q(S1,n, S_2,n, . . . , Sn,n).

R��. Le résultat est en fait vrai en remplaçantKpar un anneau.

E��. [Gou��, §�.�, p��] Expressions deP = X³+Y³+Z³ œ R[X, Y, Z]etQ = X₁²X₂²X3œR[X1, . . . , Xn]pournØ5.

III. E. Groupe symétrique et géométrie

[Rom��, §�.�, p��] [CG��, §XII.�, p��]

Groupe des isométries préservant une partie deE. Isométries positives/négatives ...

L’isobarycentre est conservé par une isométrie (en particulier un potentiel centre de symétrie).

Bijection isométries positives/négatives.

On se place maintenant dans un espace a�ine de dimension3.

Définition d’un polyèdre.

Isométries préservant le tétraèdre régulier : isomorphe àS4.

T��. Isom(C)ƒS₄◊Z/2ZetIsom⁺(C)ƒS₄. Lien entre isométries préservant le tétraèdre et le cube

C��. [�� B��] [Rom��, §�.��, p��]

|O|= 1

|G| ÿ

gœG

|Fix(g)|

A��. On peut colorier les6faces du cube avec3couleurs de57manières di�é- rentes.

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��

Règle deS��, treillis de groupes

��

Étudier la structure du groupeSnest intéressant car ce groupe intervient naturellement dans de nombreuses situations, comme nous allons le voir. De plus, l’isomorphisme canonique SEƒSnpour tout ensembleEtel que|E|=net le théorème deC��rajoutent de l’attrait pour ce groupe.

Dans une première partie, on regarde l’action de groupe naturelle deSnsurJ1, nK, on définit notamment les orbites et on a le théorème deC��. Cela mène à la décomposition des permutations en cycle disjoints et aux familles engendrantSn.

La deuxième partie s’attaque à l’étude de l’unique morphisme de groupes deSndansCnon tri- vial : la signature. Son noyau,An, possède de nombreuses propriétés, on montrera notamment en développement qu’il est simple pournØ5.

Enfin on s’attardera sur les di�érentes applications du groupeSn, aussi bien pour le dénombre- ment de dérangements, le calcul de déterminant que pour les polynômes symétriques. Notons aussi l’utilité deSnen théorie des représentations et en géométrie.

��

Q Dénombrer les classes de conjugaison deS6.

Q Montrer qu’il existe un sous-groupe deS₆isomorphe àZ/2Z◊Z/3Z. Soiti : Z/2Z◊ Z/3Z≠æS₆un morphisme injectif. Quelle est la signature dei((1,2))?

R Par exemple,È(1 2),(3 4 5)Íest un sous-groupe deS₆isomorphe àZ/2Z◊Z/3Z.

Puis(1,2)est d’ordre6donci((1,2))est aussi d’ordre6: c’est soit un6-cycle, soit un produit d’un3-cycle par un2-cycle. Dans tous les cas, la signature est≠1.

On pouvait aussi utiliser le théorème deC��pour trouver un sous-groupe isomorphe.

Q SoitGfini. PourgœG, on pose„g:x‘≠ægx. Montrer que si|G|= 2npournimpair, alors Gn’est pas simple.

Q Quelles sont les isométriesDpréservant un tétraèdre régulier?

R D ƒS4puisque qu’en numérotant les sommets, on a directement l’injection. Comme de plus l’échange de deux sommets (par une symétrie) correspond à une transposition,S4= È{transpositions}Í µD.

Q Et pour les isométries du cube?

R Les isométries positives sont isomorphes àS4.

��

[CG��] P.C��et J.G��: Histoires hédonistes de groupes et de géométries - Tome�.

Calvage et Mounet,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

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