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105 : GROUPE DES PERMUTATIONS D'UN ENSEMBLE FINII. Structure de Sn

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Academic year: 2022

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105 : GROUPE DES PERMUTATIONS D'UN ENSEMBLE FINI I. Structure de Sn [CaG][Com]

1. Définitions

def, Cayley, support, ordre, orbite

2. Cycles et transposition

dec en cycles, ordre, générateurs : transpo / (1n)/(i,i+1) / (1,2)(1,2...n)

3. Signature et groupe alterné

def, unique morphisme, An = Ker(ε)

II. Etude algébrique [P]

1. Classes de conjugaison

carac et card des classes de conjugaison

2. Simplicité et résolubilité

An simple si n≥5, Z(Sn)={1}, D(An)=D(Sn)=An

3. Automorphismes et actions

Stab(x)~Sn-1 - [H:Sn]=n => H~Sn-1 - Aut(Sn)=Int(Sn) si n≠6

III. Applications [Com][CaG][GoC]

1. Déterminant, matrices de permutation def mat de perm, det – FL alternée – lien det/ε

2. Géométrie

Groupes d'isométrie de polyèdres réguliers, groupe du cube Carac des ss-gpes de SO3

3. Polynomes symétriques

carac des pol sym par l'action de Sn, S[X

1

,..,X

n

]=P[S

1

,..,S

n

]

4. Isomorphismes exceptionnels

Biblio :

Calais Combes Perrin

Goblot (alg commutative)

Développements :

5 – An simple si n≥5

10 – Groupe d'isométrie du cube

Références

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