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106 : GROUPE LINEAIRE D'UN EV DE DIM FINIE – SS-GPES DE GL(E) – App I. Description et sous-groupes de GL(E)

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Academic year: 2022

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106 : GROUPE LINEAIRE D'UN EV DE DIM FINIE – SS-GPES DE GL(E) – App I. Description et sous-groupes de GL(E) [FaA][P]

1. Cas général

def, carac - ~Gln

2. Sous-groupes

det, SL(E), PGL / PSL - ( O(q), On )

Remarque : Gpes spéciaux et projectif comme en 1.

II. Propriétés algébriques de GL(E) et SL(E) [P]

1. Générateurs

def transvection, dilatations – lemmes + engendrement

2. Centre et groupe dérivé

homothéties ~K* / μn(K) – K alg clos => PGL=PSL D(GL)=D(SL)=SL

3. Cardinal

Th Burnside – card ds Fq, isomorphismes exceptionnels

III. Propriétés topologiques (K=R

ou

C) [FaA][MT][Se]

1. Structure de groupe topologique

Gln ouvert de Mn, g-->g-1 cont, gpe topo pr la topo induite

2. Compacité

lemme : On et Un compacts - ss-gpes compacts de GL(E)

3. Homéomorphismes

GLn(C)~C*xSLn – GLn(R)+(ou-)~R+*xSLn - dec polaire

4. Connexité

exp surj => GLn, SLn(C) connexes – GLn(R) a 2 composantes

Biblio :

Faraut Perrrin

Mneimé Testard Serre

+ Szpirglas

Développements :

4 – Générateurs de SL(E) et GL(E) 7 – Décomposition polaire ( cas réel )

30 – Sous-groupes compacts de GL(E)

Références

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