Sous-groupes de GL n (K)

Sous-groupes de GL _n (K)

1 G ∩ SL

( C ) = {I

}

SoitGun sous-groupe ni deGL2(C)tel queG∩SL2(C) ={I2}. Montrer queGest cyclique.

2 GL

et GL

SoitK et Ldeux sous-corps deC; soit Gun sous-groupe ni de GL_n(K)tel que

∀A∈G, A²=I_n 1) Montrer queGest abélien.

2) Montrer que les éléments deGsont diagonalisables.

3) Montrer quecardG≤2ⁿ.

4) Soitϕun morphisme injectif deGLn(K)dansGLm(L); montrer quen≤m.

3 Supplémentaire stable

SoitE un espace vectoriel de dimension nie, et Gun sous-groupe ni deGL(E) de cardinaln; pourf ∈L(E), on pose

f = 1 n

X

g∈G

g◦f◦g⁻¹ 1) Montrer que∀g∈G, f g=gf.

2) Montrer quef =f si et seulement sif commute avec tout élément deG.

On suppose queF est un sous-espace vectoriel deEstable par tout élément deG; on veut montrer queF possède un supplémentaire stable par tout élément deG.

3) Soitpun projecteur d'imageF ; montrer queImp⊂F. 4) Montrer que

∀x∈F, p(x) =x 5) Montrer quepest un projecteur d'imageF. 6) Conclure.

7) Construire un contre-exemple dans le cas oùGn'est pas ni à l'aide de 1 1

0 1

.

4 Sur les sous-groupes nis de O (n)

F =Rⁿ est muni de la norme euclidienne canonique. On noteE=Mn(R). 1- Norme subordonnée : montrer qu'on dénit une norme surE par

kMk= sup

x∈F\{0}

kM xk kxk 2- Montrer que

∀A, B∈E,kA.Bk ≤ kAk.kBk 3- kMk siM ∈O(n)?

4- Soitε >0 ; on dit qu'une partieA deEest ε−séparée si :

∀x6=y∈A,kx−yk ≥ε 1

Montrer l'existence de m > 0 tel que toute partie ε−séparée de O(n) possède moins de m éléments.

5- SoitGun sous-groupe ni deO(n); soitG⁰ le sous-groupe deGengendré par {M ∈G/kM −Ink ≤ε}

Montrer que

|G| ≤m|G⁰|

5 Partie génératrice de GL

( C )

SoitU un ouvert deG=GLn(C)contenant{In}et H le sous-groupe deGengendré parU. 1- Montrer que H est ouvert dansG.

2- Montrer que H est fermé dans G. 3- Conclure.

6 SO (3) est un groupe simple

SoitGun sous-groupe de SO(3), etG0 la composante CPA de{Id}dansG. 1- Montrer que G0 est un sous-groupe deG.

2- Montrer que si GCSO(3), alorsG0CSO(3).

3- On supposeGCSO(3),GCPA,G6={Id}. Montrer queGcontient une rotation d'angleπ, puis montrer queG=SO(3).

4- On supposeGCSO(3); montrer queG=SO(3)ouG={Id}.

7 Un théorème de Burnside sur l'exposant

SoitGun sous-groupe de GLn(C); soitq∈N^∗ ; on suppose que

∀g∈G, g^q =I_n 1. Montrer que tous les éléments deGsont diagonalisables.

2. Soitg∈G; montrer que sitrg=n, alorsg=I_n.

3. Montrer que l'ensembleT des traces des éléments deGest ni.

4. Soitg etg⁰ deux éléments deG; on suppose que :

∀x∈G,tr (g.x) = tr (g⁰.x) montrer queg=g⁰.

5. Montrer queGest ni.

Indications

1. X^q−1est scindé à racines simples.

2. Notons λj =aj+i.bj lesnvaleurs propres deg. Alors :

n

X

j=1

a_j =n

Or : ∀j, aj≤1. Donc : ∀j, aj = 1. On en déduit queg=I_n. 3. Ce sont des sommes denéléments deUq.

4. Choisirx=g⁻¹.

5. Soit F le sous-espace vectoriel de M_n(C)engendré parG; soitB une base deF constituée d'éléments deG; soit

t: G → T^B g → (trgx)_x∈B D'après 4.,t est injective ;T^B étant ni, Gest ni.

2

8 kM X − X k

≤ C kX k

SoitGun sous-groupe de GLn(C); on suppose l'existence d'une constante C∈[0,2[

telle que

∀M ∈G,∀X ∈Cⁿ,kM X−Xk₂≤CkXk₂ Montrer l'existence dem∈N^∗ tel que

∀M ∈G, M^m=I_n

Indications

- Montrer que les valeurs propres sont de module 1.

- Revoir la caractérisation de M^k

k≥0 bornée.

9 Centralisateur dans GL

(K)

SoitX une partie deGLn(K)et Gson centralisateur. Montrer l'existence de X0 ⊂X, ni, dont le centralisateur estG.

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