Sous-groupes compacts de GL n ( R )

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Sous-groupes compacts de GL _n ( _R )

Leçons : 150, 181, 203, 206,

[Ale], problème III.III.A.1 Théorème

Soit V un

K un convexe compact non-vide de V.

Soit G un sous-groupe compact de GL ( V ) vérifiant : ∀ u ∈ G, u ( K ) ⊂ K.

Alors ∃ x ∈ K, ∀ u ∈ G, u ( x ) = x.

Démonstration :

Étape 1 : SoitNune norme euclidienne surV.

Pour toutx∈V, on pose

ν(x) =max

u∈G N(u(x)). On va montrer queνdéfinit une normeG-invariante surV.

CommeGest compact : pour toutx∈V,{u(x)|u∈G}est compact.

On en déduit queνest bien définie surV.

Par ailleurs, on a :∀x ∈ V,∀u ∈ G,ν(x) = ν(u(x)), car la composition paruest une bijection du groupeG.

De plus :

– νest à valeurs dansR⁺carNl’est ; – ∀x∈V,ν(x) =0⇒N(x) =0⇒x=0 ;

– ∀x∈V,∀λ∈R,ν(λx) =|λ|ν(x)car les éléments deGsont linéaires et carNest une norme.

Il nous reste à montrer queνvérifie l’inégalité triangulaire ; soientx,y∈V.

ν(x+y)étant définie à partir d’un maximum, on a :

∃u₀∈G,ν(x+y) =N(u₀(x+y))_. Alorsν(x+y)6N(u₀(x)) +N(u₀(y))6ν(x) +ν(y).

Et si on a l’égalitéν(x+y) =ν(x) +ν(y), alorsu₀(x)etu₀(y)sont positivement liés, doncxetyaussi (caru0est inversible).

Étape 2 : Commeνest continue surK, elle y admet un minimum, disons ena∈K.

Soitu∈G, par argument d’invariance, on a :ν(u(a)) =ν(a).

Commeνest convexe (c’est une norme !), ses ensembles de niveau sont convexes, et donc, on obtient : ν

u(a) +a 2

=ν(a).

Ainsi,ν(u(a) +a) =2ν(a) =ν(a) +ν(u(a)).

Le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire pourνfournit :u(a) =λa, pour un certainλ>0.

Maisν(u(a)) =ν(a), doncλ=1 oua=u(a) =0.

Finalement,∀u∈G,u(a) =a.

Corollaire

Soit G un sous-groupe compact de GL

(

) _.

Alors il existe une forme quadratique q définie positive sur

telle que G ⊂ O ( q ) .

Démonstration :

On munitGd’une nouvelle structure de groupe(G,♦)par :∀A,B∈G,A♦B:=BA.

On pose :

ρ:

(G,♦) → GL(S_n(R)) A 7→ (S7→^tASA) ^.

– ρest bien définie car∀A∈G,ρ(A)∈ L(S_n(_R))est inversible, d’inverseρ A⁻¹

; – ρest un morphisme de groupes (pour la loi♦) ;

1. Ce résultat peut-être démontré de façon différente en utilisant l’ellipsoïde de John-Loewner (voir en page??).

Florian L

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DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

– ρest continue, carρ = (b◦∆) _G, oùb:

M_n(_R)² → L(S_n(_R))

(A,B) 7→ (S7→^tASB) est continue (par bilinéarité et dimension finie) et∆:

M_n(_R) → M_n(_R)²

A 7→ (A,A) est continue (par linéarité et dimension finie).

ρ(G)est un sous-groupe (carρest un morphisme de groupes etGun groupe) compact (carρest continue etGcompact) de GL(Sn(_R))_.

On poseH={^tMM|M∈G}etKl’enveloppe convexe deH.

La compacité deGimplique celle deHpuis celle deK.²

De plus, commeG⊂GLn(_R), on obtientH⊂ S_n⁺⁺(_R); et commeS_n⁺⁺(_R)est convexe, on aK⊂ S_n⁺⁺(_R). Enfin,

∀A∈G,∀M∈G,ρ(A) ^tMM

=^tA^tMMA=^t(MA)(MA)∈ H⊂K; et donc par linéarité deρ(A),Kest stable parρ(A).

On applique le résultat précédent pour obtenir :

∃S∈K,∀A∈G,S=ρ(A)(S) =^tASA.

Et commeK⊂ S_n⁺⁺(R), on a bienG⊂O(qS), oùqS:x7→^txSxest une forme quadratique définie positive surRⁿ.

Références

[Ale] M. A

– Thèmes de géométrie, Groupes en situation géométrique, Dunod, 1999.

2. On dispose du lemme suivant, conséquence du théorème de Carathéodory : Lemme

SoitEun espace affine réel de dimensionn<_∞,A ⊂ E, on suppose queA 6=∅et queAest compact.

Alors son enveloppe convexe Cv(A)est compacte.

En effet, on poseK=(t₁, . . . ,t_n+1)∈[_{0, 1}]ⁿ⁺¹t₁+_{. . .}+t_n+1=₁ , c’est un compact deRⁿ⁺¹. On définitf :

K× Eⁿ⁺¹ → E

(t₁, . . . ,t_n+1,A₁, . . . ,A_n+1) 7→ t₁A₁+. . .+t_n+1A_n+1 .

D’après Carathéodory, f K× Aⁿ⁺¹=Cv(A); or fest continue etK× Aⁿ⁺¹est compact donc Cv(A)l’est aussi.

Florian L

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