Sous-groupes additifs de R
L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.
SoitGun sous-groupe de (R,+). Trois cas sont possibles :
— G={0},
— ou bien, il existe un unique a >0 tel queG=aZ,
— ou bien, Gest dense dans R.
Théorème 1:Sous-groupes additifs de R
Démonstration. On suppose queG /∈ {0}. Alors, il existe x0 6= 0 tel que x0 ∈G. Quitte à remplacer x0 par−x0, on peut supposer que x0 >0 etx0 ∈G.
Par conséquent, l’ensemble A={g >0/ /g∈G}est non vide. Comme cette partie de Rest minorée par0, elle admet une borne supérieure noté avérifianta>0.
— Cas où a >0:
D’après la caractérisation de la borne inférieure, il existex, y∈G tels quea6x6y <2a.
Ainsi 0 6 y−x < 2a−a et donc 0 6 y−x < a. Comme y−x ∈ G et que a= infA alors y−x= 0.
Cela signifie qu’il existe un unique x∈G tel quea6x <2a. D’après la caractérisation de la borne inférieure, nécessairementa=x∈A. Ainsi, a= min(A).
Montrons queG=aZpar double inclusion.
Comme a∈Get que Gest un sous-groupe de (R,+) l’inclusionaZ⊂Gest claire.
Soitx∈G. Posonsn=x
a
.
De ce fait, xa−1< n6 xa puis06x−an < a. Or a, x∈Getn∈Z donc x−an∈G. Enfin, commea= inf(A) alors nécessairement x−an= 0. Ainsi,x=an∈aZ.
— Cas où a= 0 : Montrons queG est dense dansR.
Soient x ∈ R et > 0. Montrons que l’intervalle ouvert ]x−, x+[ contient, au moins, un élément de G.
Comme a= 0 alors, d’après la caractérisation de la borne inférieure, il existe g ∈ G tel que 0< g < . Posonsn=
jx g
k .
De ce fait, xg −1< n6 xg puis 06x−ng < g < .
ngest donc à la fois un élément de Get un élément de ]x−, x+[.
Ce résultat est à comparer avec celui décrivant les sous-groupes additifs deZ. SoitG un sous-groupe de(Z,+). Deux cas sont possibles :
— G={0},
— ou bien, il existe un unique a∈N? tel que G=aZ. Remarque I
SoitGun sous-groupe de (R+?,×). Trois cas sont possibles :
— G={1},
— ou bien, il existe un unique b >1 tel que G=bZ,
— ou bien, Gest dense dans R+?.
Corollaire 2:Sous-groupes multiplicatifs de R+?
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Démonstration. Considérons l’application bijective
ln : R+? → R x 7→ ln(x)
SoitG un sous-groupe de(R+?,×). On démontre aisément queln(G) est un sous-groupe de (R,+).
Par le théorème précédent,
— ln(G) ={0},
— ou bien, il existe un unique a >0 tel que ln(G) =aZ,
— ou bien, ln(G) est dense dans R. Plusieurs cas s’offrent ainsi à nous.
— Si ln(G) ={0} alorsG={1}.
— S’il existe un unique a >0 tel que ln(G) =aZalorsG= (ea)Zetb=ea convient.
— Si ln(G)est dense dans R alorseln(G) est dense dans eR, c’est-à-direG est dense deR+?.
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