Sous-groupe de R

R.Flouret

Sous-groupe de R

Théorème : Tout sous-groupe de (R,+) est soit dense soit discret

Preuve :

Soit (G,+) un sous-groupe de (R,+)

Le sous-groupe réduit à {0} est discret : {0}=0Z Supposons G≠

{ }

{

}

Si g>0, alors G∩R₊^* ≠Ø

Si g<0, alors −g >0et G∩R^*₊ ≠Ø.

On en déduit donc que G∩R₊^* est non vide et minoré par 0.

Soit a=inf A.

Deux cas se présentent : 1^er cas : a>0

Par l’absurde, supposons que a∉A. On a 2a>a>0. 2a n’est donc pas un minorant de A donc a

x a A

x∈ / < <2

∃ .

x n’est donc pas un minorant de A donc ∃y∈A/0<a< y<x<2ad’où 0<x−y<2a−y<a G étant un sous groupe additif, on en déduit que x− y∈A.

L’inégalité 0<x−y<aest donc absurde !

Pour la suite, nous pouvons donc supposer a∈Aet donc a∈G. Montrons que aZ ⊂G.

Si n=0, alors on a clairement 0a=0∈G. Soit n∈Z^*. Si n>0alors na=a+...+a∈Gcar G sous-groupe additif.

Si n<0alors na n a a a G

fois n

∈

− + +

−

=

−

×

= ( ) 1( 4 2)4...4 3(4) car G sous-groupe additif et (−a)∈Gen tant qu’opposé de

G a∈ .

Montrons que G⊂aZ. Soit x∈Get ( )

a E x

n= . On a ( )≤ < ( )+1 a E x a x a

E x d’où an≤ x<a(n+1). On en déduit que 0≤x−an<a.

G étant un sous-groupe additif, on a x−an∈G.

Si x≠an, alors 0<x−an<adonc x−an∈A. Absurde par définition de a.

On a donc x=an∈aZpuis G⊂aZ. Finalement, G=aZ.

R.Flouret 2^ième cas : a=0

Soit (x,y)∈R²,x< y.∃η∈A^/0<η < y−x^.

Posons ( )

η E x

p= . On a donc ≤ x < p+1

p η ^{d’où p}η ^≤x<η^{(p+1)≤ x+}η ^{< y} Or η(p+1)∈Gcar G sous-groupe additif donc G est dense dans R.

Application :

Soit α∉πQ. Montrer que αZ +²πZest un sous-groupe dense dans R.

Corrigé :

Les sous-groupes additifs de R sont denses dans R ou de la forme aZ.

Supposons que αZ +²πZsoit de la forme aZ,a∈R. ∃⁽k^,k^')∈Z^{2 /2}π =ak^et α =^ak'.

On en déduit que Q

k k ∈

= ' 2

απ

. Absurde car α∉πQ. Z

Z π

α +² est donc un sous-groupe dense dans R.