1. Montrer que tout sous groupe de ( Z n , +) est isomorphe ` a ( Z r , +) avec r 6 n.

TD DU 22/11/2010 ET DU 29/11/2010

1. Montrer que tout sous groupe de ( Z ⁿ , +) est isomorphe ` a ( Z ^r , +) avec r ₆ n.

2. Soit I ₁ ,...,I _n n segments disjoints non vides.

(1) Soit P ∈ R ⁿ⁻¹ [X]. Montrer que si ∀i ∈ 1, ..., n R

I

P (x) dx = 0 alors P = 0.

(2) Montrer qu’il existe P de degr´ e n tel que P 6= 0 et ∀i ∈ 1, ..., n R

I

P (x) dx = 0.

1

TD DU 22/11/2010 ET DU 29/11/2010 1

Solution 1 On va raisonner par r´ ecurrence forte sur n.

• n = 1, G sous-groupe de Z alors G = p Z (p 6= 0 si on suppose G non trivial).

ϕ : x ∈ G 7→ x/p ∈ Z est l’isomorphisme recherch´ e.

• n = 2 : soit p(G) la projection de G sur Z qui ` a tout ´ el´ ement (x, y) de G fait correspondre x. p(G) est un sous-groupe de Z de la forme a Z .

– Si a = 0 alors en raisonnant sur la deuxi` eme coordonn´ ee, il existe b ∈ Z tel que G = (0, b) Z .

– Si a 6= 0 alors tout ´ el´ ement de G s’´ ecrit (ka, y). On pose Q ₀ = {y ∈ Z | (0, y) ∈ G}.

∗ Si Card Q ₀ = 1 alors n´ ecessairement Q ₀ = {0}, si (x, y) et (x, y ⁰ ) sont deux

´ el´ ements de G alors (x, y) − (x, y ⁰ ) = (0, y − y ⁰ ) ∈ G donc y − y ⁰ ∈ Q ₀ i.e.

y = y ⁰ donc G ⊂ (a, b) Z o` u b est l’unique ´ el´ ement de Z tel que (a, b) ∈ G.

L’inclusion inverse ´ etant ´ evidente, on en d´ eduit que G = (a, b) Z .

∗ Si Card Q 0 > 2 alors Q 0 est un sous-groupe non trivial de Z de la forme c Z . Si (a, b ⁰ ) est un ´ el´ ement de G alors tout ´ el´ ement de G s’´ ecrit

(x, y) = k(a, b ⁰ ) + (0, y − kb) = k(a, b ⁰ ) + h(0, c)

i.e. G ⊂ (a, b ⁰ ) Z + (0, c) Z , l` a aussi l’inclusion inverse est imm´ ediate d’o` u G = (a, b ⁰ ) Z + (0, c) Z , G est isomorphe ` a Z ² .

• n > 3, on suppose la propri´ et´ e vraie pour tout q ₆ n − 1. Soit donc G un sous-groupe de Z ⁿ , on note p la projection sur Z ⁿ⁻¹ qui ` a un ´ el´ ement de Z <sup>n</sup> fait correspondre l’´ el´ ement de Z <sup>n−1</sup> obtenu en supprimant la derni` ere coordonn´ ee et p ⁰ de Z ⁿ dans Z celle qui fait correspondre cette derni` ere coordonn´ ee.

Soit G ⁰ = p(G), G ⁰ est un sous-groupe de Z ⁿ⁻¹ donc il existe r ₆ n − 1 tel que G ⁰ ' Z ^r , on note ϕ ⁰ un isomorphisme de G ⁰ dans Z ^r .

On note Q ₀ = {x _n ∈ Z | (0, . . . , 0, x _n ) ∈ G}.

– Si Card Q ₀ = 1 alors Q ₀ = {0}, si (x ₁ , . . . , x n−1 , x _n ) et (x ₁ , . . . , x n−1 , x ⁰ _n ) sont deux

´ el´ ements de G alors (x ₁ , . . . , x n−1 , x _n ) − (x ₁ , . . . , x n−1 , x ⁰ _n ) = (0, . . . , 0, x _n − x ⁰ _n ) ∈ G donc x _n − x ⁰ _n ∈ Q ₀ i.e. x _n = x ⁰ _n donc l’application ϕ : G 7→ Z ^r d´ efinie par ϕ(x ₁ , . . . , x n−1 , x _n ) = ϕ ⁰ (x ₁ , . . . , x n−1 ) est bien d´ efinie est c’est un isomorphisme de groupes.

– Si Card Q ₀ > 2 alors Q ₀ est un sous-groupe non trivial de Z de la forme c Z . On d´ efinit alors ϕ : G → Z ^r+1 par ϕ(x ₁ , . . . , x _n ) = (ϕ ⁰ (x ₁ , . . . , x n−1 ), x _n /c).

Solution 2

(1) On pose Q(x) = Z x

0

P (t) dt, I _k = [a _k , b _k ], k ∈ [[1, n]]. Les hypoth` eses se traduisent par Q(a <sub>1</sub> ) = Q(b <sub>1</sub> ),...,Q(a <sub>n</sub> ) = Q(b <sub>n</sub> ). On range les a <sub>k</sub> dans l’ordre croissant. On a ainsi a <sub>1</sub> < b <sub>1</sub> < a <sub>2</sub> < . . . < a <sub>n</sub> < b <sub>n</sub> et, grˆ ace au th´ eor` eme de Rolle, il existe des c _k ∈]a _k , b _k [ tels que Q ⁰ (c _k ) = P (c _k ) = 0. P est donc un polynˆ ome de degr´ e n − 1 qui s’annule en n valeurs, c’est donc le polynˆ ome nul.

(2) Reprenons les notations ci-dessus. Soit H _k = {Q ∈ R n+1 [X] | Q(a _k ) = Q(b _k )}. H _k est un hyperplan de R ⁿ⁺¹ [X] et

n

\

k=1

H _k = F est un sous-espace vectoriel de R ⁿ⁺¹ [X] de

dimension _> 2, il contient donc un polynˆ ome Q non constant. Il suffit alors de prendre

P = Q ⁰ .