Pour tout n ∈Net tout z ∈D montrer que 1−bn(z

Universit´e Paris 7 Ann´ee 2009/2010

Fonctions analytiques Licence S5, M23040

Feuille 6

Exercice 1 . On consid`ere une suite (a_n) du disque unit´e ouvert D telle que la s´erie P

n>0(1−|an|) est convergente. Pour tout z ∈Don pose

bn(z) = |a_n| a_n

a_n−z 1−a_nz

sia_n 6= 0. Si a_n= 0 on pose b_n(z) = −z.

1. Pour tout n ∈ N, montrer que b_n est une fonction holomorphe sur D, continue sur D puis que |b_n(z)|= 1 pour toutz ∈∂D.

2. Pour tout n ∈Net tout z ∈D montrer que

1−b_n(z) = 1−|a_n| 1−a_nz

³

1 + |a_n| a_n z

´ .

En d´eduire que

|1−b_n(z)|621−|a_n| 1−|z|

pour tout z ∈D.

3. En d´eduire que la s´erieP ¡

1−b_n(z)¢

est normalement convergente sur les compacts de D.

4. Montrer que le produit

B(z) = Y

n>0

b_n(z)

est uniform´ement convergent sur toute partie compacte de D et que B est une fonction holomorphe et born´ee sur D.

5. Montrer que B s’annule en chaque point a_n et que B ne s’annule pas ailleurs qu’en ces points.

La fonction B est appel´ee le produit de Blaschke associ´ee `a la suite (a_n)

Exercice 2.Soit (an)n∈Nune suite de nombres complexes non nuls telle que la s´erieP ₁

an

est normalement convergente.

1. Montrer qu’il existe une fonction enti`ere F telle que les z´eros deF sont pr´ecis´ement les nombres an.

Indication. On pourra consid´erer les fonctionsz 7→1− _a^z_n 2. La fonction F est-elle unique ?

Exercice 3 . Soit Dle disque unit´e ouvert. On dira qu’une fonction E est unitaire si elle est holomorphe dans D, continue sur D et si |f(z)|= 1 pour tout z v´erifiant |z|= 1.

1. Montrer qu’une fonction unitaire dans D prend ses valeurs dansD.

2. Montrer qu’une fonction unitaire dans D n’a qu’un nombre fini de z´eros.

3. Montrer qu’une fonction unitaire sans z´ero est une constante.

4. Montrer que pour tout a∈D, la fonction f_a d´efinie par f_a(z) = _1−az^z−a est unitaire.

5. SoitE une fonction unitaire surDayant les pointsa₁, a₂, . . . , a_n pour z´eros (chacun

´etant compt´e avec son ordre de multiplicit´e). Montrer qu’il existe une constante c∈C avec|c|= 1 telle que

E(z) =c Yn

j=1

z−aj

1−a_jz

pour tout z ∈D.

6. Soit f une fonction holomorphe sur D non identiquement nulle et supposons qu’il existe M > 0 tel que |f(z)| 6 M sur D. Soit E une fonction unitaire dans D telle que f(z)/E(z) soit holomorphe dans D. Montrer que l’on a

∀z ∈D, |f(z)| ≤M|E(z)|.

Soit a₁, a₂, . . . , a_n, . . . la suite des z´eros def dans D, chacun ´etant compt´e avec son ordre de multiplicit´e. Montrer que

∀n≥1, |f(0)| ≤M|a₁| |a₂| · · · |a_n|.

En d´eduire que si f(0) 6= 0, la s´erie P

n≥1(1− |a_n|) converge.

Indication. On pourra remarquer que pour tout r´eel x∈[0,1[ on a e^x 6 _1−x¹ .

Exercice 4 . Soit f une fonction enti`ere v´erifiant |f(z)| = 1 pour tout z ∈ C tels que

|z|= 1. On sait d’apr`es l’exercice 3 que f a un nombre fini de z´eros dans D.

Soit a₁, . . . , a_n les z´eros de f dans D , chacun ´etant compt´e avec son ordre de multi- plicit´e. En consid´erant la fonction sur D

z 7→

Yn

j=1

1−ajz z−a_j ,

montrer qu’il existe une constante c ∈ C v´erifiant |c| = 1, et un entier n ∈ N tels que f(z) =kzⁿ pour tout z ∈C.

Exercice 5 . Donner une nouvelle d´emonstration du principe du maximum utilisant le fait qu’une fonction holomorphe non constante est ouverte.