1) Montrer que l’on a a0 ∈Z, an ∈N pour n≥1 et 0≤xn <1 pour tout n

Approximation de √

2 par les fractions continu´ees

On d´esigne par [x] la partie enti`ere du nombre r´eel x. On a donc [x]≤x <[x] + 1.

Soit x un nombre r´eel. On d´efinit deux suites an et xn, pour n ∈ N, de la mani`ere suivante :

On pose a0 = [x] et x0 =x−a0. Pourn≥1 on d´efinit an et xn par r´ecurrence par :

• a_n =x_n = 0 si x_n−1 = 0,

• a_n =

1

x_n−1

etx_n= 1

x_n−1 −a_n sinon.

1) Montrer que l’on a a0 ∈Z, an ∈N pour n≥1 et 0≤xn <1 pour tout n.

2) Montrer, pour tout n∈N, la formule :

x=a₀+ 1

a1+ 1

a₂ + 1

· · ·+ 1 a_n+x_n

.

On pose, si a0, a1,· · ·, an sont non nuls :

[a0,· · ·, an] =a0+ 1

a₁+ 1

a₂+ 1

· · ·+ 1 an

.

Montrer que [a0,· · ·, an] est un nombre rationnel.

3) Montrer les ´equivalences :

x ∈ Q ⇐⇒ ∃n ∈ N, xn = 0 ⇐⇒ ∃n ∈ N, x = [a0,· · ·, an]. (Pour la premi`ere implication on raisonnera par r´ecurrence descendante sur le d´enominateur de x.)

Les rationnels [a₀,· · ·, a_n] constituent ce qu’on appelle le d´eveloppement en frac- tions continu´ees (ou continues) de x. On peut montrer, dans le cas g´en´eral, que la suite [a₀,· · ·, a_n] converge versxet qu’elle r´ealise mˆeme en un certain sens la “meilleure” appro- ximation rationnelle de x (i.e., celle dont les d´enominateurs sont les plus petits possibles).

Nous allons nous contenter d’´etudier un cas particulier tr`es simple.

4) a) On prendx =√

2−1. Montrer que l’on a a0 = 0 ,x0 =√

2−1 et, pour n≥1, a_n = 2 et x_n =√

2−1.

b) On pose vn = [a0,· · ·, an]. Montrer la relation de r´ecurrence vn+1 = 1

2 +vn

. 1

En d´eduire que la suite v_n converge vers v= √

2−1. Donner une majoration de |v_n−v| en fonction de n. ´Etudier la monotonie devn.

5) On poseu_n = 1+v_n. Montrer que la suiteu_n converge vers√

2. Pr´eciser la relation de r´ecurrence¹ v´erifi´ee par un.

On a donc la formule :

√2 = 1 + 1

2 + 1

2 + 1

· · ·+ 1 2 +· · ·

.

6) On ´ecrit le nombre rationnelu_n sous-forme de fractionirr´eductible: u_n =p_n/q_n. Montrer que pn et qn v´erifient les relations de r´ecurrence :

pn+1 =pn+ 2qn et qn+1 =pn+qn, pn+1 = 2p_n+p_n−1 et qn+1 = 2q_n+q_n−1, et calculer p_n, q_n, u_n pour n≤10.

7) On pose :

u_n= u_n−√ 2 un+√

2 .

Montrer queu_nv´erifie la relation de r´ecurrenceu_n+1 =λu_navec λ=−(√

2−1)². Calculer u_n pour tout n.

8) On consid`ere la suite de H´eron (wn), d´efinie par w0 = 1 et par la relation de r´ecurrence :

wn+1 = 1

2(wn+ 2 w_n).

On pose

w_n= w_n−√ 2 w_n+√

2.

Montrer la relation de r´ecurrence w_n+1 = (w_n)². En d´eduire les relations w_n = λ²ⁿ = u₂n−1 puis la formule wn =u2ⁿ−1.

Expliquer pourquoi la suitewn tend tr`es vite vers √ 2.

9) Montrer que les suites u_n et w_n s’obtiennent respectivement en appliquant la m´ethode des s´ecantes et la m´ethode de Newton au graphe de la fonction x² −2 `a par- tir du point A= (1,−1).

1 R´eponse : un+1 = 1 + 1 1 +un

.

2