(1)Premi`ere s´eance Exercice 1 Soit (xn)n>1 la suite d´efinie par : x1>0 et∀n∈N∗, xn+1 =xn+ n xn

Premi`ere s´eance Exercice 1

Soit (xn)n>1 la suite d´efinie par : x1>0 et∀n∈N^∗, xn+1 =xn+ n xn

.

a) Calculer avec maple les 10 premi`eres valeurs de la suite pour diff´erentes valeurs de x₁. Commenter.

b) Minorerx_n. Si (y_n)_n>1 v´erifie la mˆeme relation de r´ecurrence, ´etudierx_n−y_n. En d´eduire le comportement asymptotique de (xn).

Exercice 2

Montrer que l’intersection des deux plans d´efinis parx+ 2y−2z= 5 et 5x−2y−z= 0 est une droite parall`ele

`

a la droite d´efinie par x= 2t−3, y= 3t, z= 4t+ 1. Trouver l’´equation du plan qui contient ces deux droites.

Indication : Utiliser Vector du package LinearAlgebra pour repr´esenter les vecteurs. Le produit vectoriel se dit crossproduct en anglais !

Premi`ere s´eance Exercice 1

Soit (x_n)_n>1 la suite d´efinie par : x₁>0 et∀n∈N^∗, x_n+1 =x_n+ n x_n.

a) Calculer avec maple les 10 premi`eres valeurs de la suite pour diff´erentes valeurs de x1. Commenter.

b) Minorerxn. Si (yn)n>1 v´erifie la mˆeme relation de r´ecurrence, ´etudierxn−yn. En d´eduire le comportement asymptotique de (x_n).

Exercice 2

Montrer que l’intersection des deux plans d´efinis parx+ 2y−2z= 5 et 5x−2y−z= 0 est une droite parall`ele

`

a la droite d´efinie par x= 2t−3, y= 3t, z= 4t+ 1. Trouver l’´equation du plan qui contient ces deux droites.

Indication : Utiliser Vector du package LinearAlgebra pour repr´esenter les vecteurs. Le produit vectoriel se dit crossproduct en anglais !

Premi`ere s´eance Exercice 1

Soit (xn)n>1 la suite d´efinie par : x1>0 et∀n∈N^∗, xn+1 =xn+ n xn

.

a) Calculer avec maple les 10 premi`eres valeurs de la suite pour diff´erentes valeurs de x₁. Commenter.

b) Minorerx_n. Si (y_n)_n>1 v´erifie la mˆeme relation de r´ecurrence, ´etudierx_n−y_n. En d´eduire le comportement asymptotique de (xn).

Exercice 2

Montrer que l’intersection des deux plans d´efinis parx+ 2y−2z= 5 et 5x−2y−z= 0 est une droite parall`ele

`

a la droite d´efinie par x= 2t−3, y= 3t, z= 4t+ 1. Trouver l’´equation du plan qui contient ces deux droites.

Indication : Utiliser Vector du package LinearAlgebra pour repr´esenter les vecteurs. Le produit vectoriel se dit crossproduct en anglais !

Premi`ere s´eance Exercice 1

Soit (x_n)_n>1 la suite d´efinie par : x₁>0 et∀n∈N^∗, x_n+1 =x_n+ n x_n.

a) Calculer avec maple les 10 premi`eres valeurs de la suite pour diff´erentes valeurs de x1. Commenter.

b) Minorerxn. Si (yn)n>1 v´erifie la mˆeme relation de r´ecurrence, ´etudierxn−yn. En d´eduire le comportement asymptotique de (x_n).

Exercice 2

Montrer que l’intersection des deux plans d´efinis parx+ 2y−2z= 5 et 5x−2y−z= 0 est une droite parall`ele

`

a la droite d´efinie par x= 2t−3, y= 3t, z= 4t+ 1. Trouver l’´equation du plan qui contient ces deux droites.

Indication : Utiliser Vector du package LinearAlgebra pour repr´esenter les vecteurs. Le produit vectoriel se dit crossproduct en anglais !

Deuxi`eme s´eance

Soit la matrice A=









3 −1

−1 . .. ...

. .. ... −1

−1 3







∈ Mp(R) avec p≥2.

Ses coefficients sont nuls sauf les ai,i = 3,16 i6 p et ai,i+1 = ai+1,i = −1,1 6i < p. On dira que A est la matrice de bande [−1,3,−1].

1. D´emontrer que cette matrice est inversible (`a la main).

On noteX^∗ l’unique solution du syst`eme lin´eaireAX=B avec B =<sup>t</sup>(1, . . . ,1). Le syst`emeAX =B est

´

equivalent au syst`emeX =CX+1

3B avec C matrice bande `a pr´eciser.

Soit T l’application deR^p dansR^p d´efinie par X 7→CX+1

3B. Quel est le vecteur T(X^∗) ? 2. Question `a r´esoudre avec Maple.

On suppose ici p = 5. Construire les matrices A, C, le vecteur B et la transformation T. Confirmer l’inversibilit´e deA. Expliciter alorsX^∗puis une valeur approch´ee de ce vecteur. V´erifier la valeur attendue pour T(X^∗).

3. On munit R^p de la norme||X||= max

16j6p|x_j|. Montrer que T : X 7→ CX + 1

3B est alors k-lipschitzienne avec une constante k < 1 `a pr´eciser et que partant d’un vecteur X0 arbitraire, la suite (Xn) d´efinie par la r´ecurrence Xn+1 = T Xn converge vers X^∗.

4. A partir d’une majoration de ||X_n+1−X_n|| puis de ||X_n+p−X_n|| `a l’aide de ||X₁−X₀||, ´etablir la formule :||X^∗−Xn||6 kⁿ

1−k||X1−X0||.

5. On choisit X0 = 0. Soit ε = 10⁻². Avec Maple, construire les termes de la suite (Xn) n´ecessaires pour obtenir une valeur approch´ee de X^∗ `a epsilon pr`es (au sens de la norme||.||). On pourra choisir d’´ecrire une proc´edure ou non. Comparer avec la valeur approch´ee de X^∗ lorsquep= 5.

Deuxi`eme s´eance

Soit la matrice A=









3 −1

−1 . .. ...

. .. ... −1

−1 3







∈ Mp(R) avec p≥2.

Ses coefficients sont nuls sauf les ai,i = 3,16 i6 p et ai,i+1 = ai+1,i = −1,1 6i < p. On dira que A est la matrice de bande [−1,3,−1].

1. D´emontrer que cette matrice est inversible (`a la main).

On noteX^∗ l’unique solution du syst`eme lin´eaireAX=B avec B =<sup>t</sup>(1, . . . ,1). Le syst`emeAX =B est

´

equivalent au syst`emeX =CX+1

3B avec C matrice bande `a pr´eciser.

Soit T l’application deR^p dansR^p d´efinie par X 7→CX+1

3B. Quel est le vecteur T(X^∗) ? 2. Question `a r´esoudre avec Maple.

On suppose ici p = 5. Construire les matrices A, C, le vecteur B et la transformation T. Confirmer l’inversibilit´e deA. Expliciter alorsX^∗puis une valeur approch´ee de ce vecteur. V´erifier la valeur attendue pour T(X^∗).

3. On munit R^p de la norme||X||= max

16j6p|x_j|. Montrer que T : X 7→ CX + 1

3B est alors k-lipschitzienne avec une constante k < 1 `a pr´eciser et que partant d’un vecteur X0 arbitraire, la suite (Xn) d´efinie par la r´ecurrence Xn+1 = T Xn converge vers X^∗.

4. A partir d’une majoration de ||X_n+1−X_n|| puis de ||X_n+p−X_n|| `a l’aide de ||X₁−X₀||, ´etablir la formule :||X^∗−X_n||6 kⁿ

1−k||X₁−X₀||.

5. On choisit X0 = 0. Soit ε = 10⁻². Avec Maple, construire les termes de la suite (Xn) n´ecessaires pour obtenir une valeur approch´ee de X^∗ `a epsilon pr`es (au sens de la norme||.||). On pourra choisir d’´ecrire une proc´edure ou non. Comparer avec la valeur approch´ee de X^∗ lorsquep= 5.

Troisi`eme s´eance Exercice 1

On pose pour (x, y) ∈ R² :N(x, y) =

∫ ₁

0

|x+ty|dt. Cette application d´efinit-elle une norme surR²? Si oui, repr´esenter sa boule unit´e avec Maple.

Exercice 2

Soit F :N×N→R, tel queF(n, k) = (k!)² ((n+k+ 1)!)²

1. (a) D´emontrer que pour tout entier naturel n, la s´erie de terme g´en´eral F(n, k) est convergente. On posera dans la suiteσn=

+∞

∑

k=0

F(n, k).

(b) Calculer σn pour n∈[[0,10]] avec Maple.

2. Soit G:N×N→R tel queG(n, k) = (3n+ 2k+ 3)F(n, k)

(a) Soit (n, k)∈N². A l’aide de Maple, comparer : (n+ 1)³F(n+ 1, k)−(4n+ 2)F(n, k) et G(n, k+ 1)−G(n, k).

(b) D´emontrer que pour tout entier natureln : (n+ 1)³σn+1−(4n+ 2)σn=− 3n+ 3 ((n+ 1)!)² (c) D´eterminer une suite (P_n)_n∈N telle que pour toutn∈N: σn+1

P_n+1 −σn

P_n =− 3((n+ 1)!)² (n+ 1)²(2n+ 2)!

(d) Conclure que la s´erie de terme g´en´eral 1 n²(_2n

n

) converge et que

+∞

∑

n=1

1 n²(_2n

n

) = π² 18. On rappelle que

+∞

∑

n=1

1 n² = π²

6 .

Troisi`eme s´eance Exercice 1

On pose pour (x, y) ∈ R² :N(x, y) =

∫ ₁

0

|x+ty|dt. Cette application d´efinit-elle une norme surR²? Si oui, repr´esenter sa boule unit´e avec Maple.

Exercice 2

Soit F :N×N→R, tel queF(n, k) = (k!)² ((n+k+ 1)!)²

1. (a) D´emontrer que pour tout entier naturel n, la s´erie de terme g´en´eral F(n, k) est convergente. On posera dans la suiteσ_n=

+∞

∑

k=0

F(n, k).

(b) Calculer σ_n pour n∈[[0,10]] avec Maple.

2. Soit G:N×N→R tel queG(n, k) = (3n+ 2k+ 3)F(n, k)

(a) Soit (n, k)∈N². A l’aide de Maple, comparer : (n+ 1)³F(n+ 1, k)−(4n+ 2)F(n, k) et G(n, k+ 1)−G(n, k).

(b) D´emontrer que pour tout entier natureln : (n+ 1)³σ_n+1−(4n+ 2)σ_n=− 3n+ 3 ((n+ 1)!)² (c) D´eterminer une suite (P_n)_n∈N telle que pour toutn∈N: σ_n+1

Pn+1 −σ_n Pn

=− 3((n+ 1)!)² (n+ 1)²(2n+ 2)!

(d) Conclure que la s´erie de terme g´en´eral 1 n²(_2n

n

) converge et que

+∞

∑

n=1

1 n²(_2n

n

) = π² 18. On rappelle que

∑+∞

n=1

1 n² = π²

6 .

Quatri`eme s´eance Exercice 1

a) D´emontrer que, si deux endomorphismes u et v d’un espace vectoriel E commutent, alors les sous-espaces propres deu et l’image deu sont stables parv.

Dans les deux cas suivants :

A=







20 12 −4 12

−4 −3 9 −5

−4 1 5 −5

−8 −10 6 −2





 etA=







−12 −16 −8 −4

4 13 1 −1

4 5 9 −1

8 10 2 6





 b) Pr´eciser les matrices qui commutent avecA(structure, dimension, base ´eventuelle).

c) ´Etudier dans M4(R) puis dans M4(C) l’´equation X² =A. (nombre de solutions, un exemple de solution quand il y en a, somme et produit des solutions quand elles sont en nombre fini).

Exercice 2

Etude de la courbe param´´ etr´ee :







x(t) = t−1 t²−4 y(t) = t²−3 t+ 2

Quatri`eme s´eance Exercice 1

a) D´emontrer que, si deux endomorphismes u et v d’un espace vectoriel E commutent, alors les sous-espaces propres deu et l’image deu sont stables parv.

Dans les deux cas suivants :

A=







20 12 −4 12

−4 −3 9 −5

−4 1 5 −5

−8 −10 6 −2





 etA=







−12 −16 −8 −4

4 13 1 −1

4 5 9 −1

8 10 2 6





 b) Pr´eciser les matrices qui commutent avecA(structure, dimension, base ´eventuelle).

c) ´Etudier dans M4(R) puis dans M4(C) l’´equation X² =A. (nombre de solutions, un exemple de solution quand il y en a, somme et produit des solutions quand elles sont en nombre fini).

Exercice 2

Etude de la courbe param´´ etr´ee :







x(t) = t−1 t²−4 y(t) = t²−3 t+ 2

Quatri`eme s´eance Exercice 1

a) D´emontrer que, si deux endomorphismes u et v d’un espace vectoriel E commutent, alors les sous-espaces propres deu et l’image deu sont stables parv.

Dans les deux cas suivants :

A=







20 12 −4 12

−4 −3 9 −5

−4 1 5 −5

−8 −10 6 −2





 etA=







−12 −16 −8 −4

4 13 1 −1

4 5 9 −1

8 10 2 6





 b) Pr´eciser les matrices qui commutent avecA(structure, dimension, base ´eventuelle).

c) ´Etudier dans M4(R) puis dans M4(C) l’´equation X² =A. (nombre de solutions, un exemple de solution quand il y en a, somme et produit des solutions quand elles sont en nombre fini).

Exercice 2

Etude de la courbe param´´ etr´ee :







x(t) = t−1 t²−4 y(t) = t²−3 t+ 2

Cinqui`eme s´eance Exercice 1

Soit a∈Q∩]0,2[ aveca̸= 1.

On poseI_n(a) =

∫ ₁

0

xⁿ(1−x)ⁿ

(1−(1−a)x)ⁿ⁺¹dx.

1. Justifier l’existence de I_n(a).

2. Calculer, avec Maple,I_n(a) poura∈ {¹₅,¹₄,¹₃,¹₂}et pour n∈ {1,2, . . . ,10}. ´Etablir une conjecture.

3. Montrer que pour toutn∈N^∗, on a In(a) =

+∞

∑

p=0

αn,p(1−a)^p o`u lesαn,p sont `a d´eterminer.

On pourra utiliser

∫ ₁

0

xⁿ(1−x)^mdx= n!m!

(n+m+ 1)!. 4. On poseR_n(X) = (X+ 1). . .(X+n)

(X+n+ 1). . .(X+ 2n+ 1). D´ecomposerR_n en ´el´ements simples.

En d´eduire que pour toutn∈N^∗, il existe des rationnelsr_n(a) etq_n(a) tels queI_n(a) =r_n(a) +q_n(a) lna.

Exercice 2

1. Justifier que l’ensembleE des fonctions continues sur ]0,1] `a valeurs dans Rdont l’int´egrale entre 0 et 1 du carr´e existe, est un espace vectoriel et que ⟨f, g⟩=

∫ ₁

0

f gen fait un espace pr´ehilbertien r´eel.

2. Pour tout (m, n)∈N²,t7→t^m( lnt)_n

appartient-elle `a E? 3. ExpliciterIm,n=

∫ 1 0

t^m( lnt)n

dt.

4. Montrer que f(x, y, z) =

∫ ₁

0

(lnt−x−yt−zt²)2

dt a un unique minimum, donner ses coordonn´ees et sa valeur. Tracer alors sur un mˆeme graphet7→lntett7→x+yt+zt² sur [0,005,1]. Trouver aussi une base orthonorm´ee de R2[X].

Cinqui`eme s´eance Exercice 1

Soit a∈Q∩]0,2[ aveca̸= 1.

On poseI_n(a) =

∫ ₁

0

xⁿ(1−x)ⁿ

(1−(1−a)x)ⁿ⁺¹dx.

1. Justifier l’existence de I_n(a).

2. Calculer, avec Maple,I_n(a) poura∈ {¹₅,¹₄,¹₃,¹₂}et pour n∈ {1,2, . . . ,10}. ´Etablir une conjecture.

3. Montrer que pour toutn∈N^∗, on a In(a) =

+∞

∑

p=0

αn,p(1−a)^p o`u lesαn,p sont `a d´eterminer.

On pourra utiliser

∫ ₁

0

xⁿ(1−x)^mdx= n!m!

(n+m+ 1)!. 4. On poseRn(X) = (X+ 1). . .(X+n)

(X+n+ 1). . .(X+ 2n+ 1). D´ecomposerRn en ´el´ements simples.

En d´eduire que pour toutn∈N^∗, il existe des rationnelsr_n(a) etq_n(a) tels queI_n(a) =r_n(a) +q_n(a) lna.

Exercice 2

1. Justifier que l’ensembleE des fonctions continues sur ]0,1] `a valeurs dans Rdont l’int´egrale entre 0 et 1 du carr´e existe, est un espace vectoriel et que ⟨f, g⟩=

∫ ₁

0

f gen fait un espace pr´ehilbertien r´eel.

2. Pour tout (m, n)∈N²,t7→t^m( lnt)_n

appartient-elle `a E? 3. ExpliciterI_m,n=

∫ ₁

0

t^m( lnt)n

dt.

4. Montrer que f(x, y, z) =

∫ ₁

0

(lnt−x−yt−zt²)2

dt a un unique minimum, donner ses coordonn´ees et sa valeur. Tracer alors sur un mˆeme graphet7→lntett7→x+yt+zt² sur [0,005,1]. Trouver aussi une base orthonorm´ee de R2[X].

Sixi`eme s´eance Exercice 1

On consid`ere une suite r´eelle (un)n>0v´erifiant : pour toutn∈N,un+2 = (n+1)un+1−(n+2)unetu0=u1 =−1 1. Calculer, avec un logiciel de calcul formel, les 10 premiers termes de la suite.

2. On posef(x) =

+∞

∑

n=0

u_nxⁿ. Trouver f `a l’aide d’une ´equation diff´erentielle.

3. On poseg(x) =

+∞

∑

n=0

un

n!xⁿ. Trouver g `a l’aide d’une ´equation diff´erentielle.

Exercice 2

Avec Maple, trouver les extremums def(x, y) =yexp(x) +xexp(y).

Sixi`eme s´eance Exercice 1

On consid`ere une suite r´eelle (un)n>0v´erifiant : pour toutn∈N,un+2 = (n+1)un+1−(n+2)unetu0=u1 =−1 1. Calculer, avec un logiciel de calcul formel, les 10 premiers termes de la suite.

2. On posef(x) =

+∞

∑

n=0

u_nxⁿ. Trouver f `a l’aide d’une ´equation diff´erentielle.

3. On poseg(x) =

+∞

∑

n=0

un

n!xⁿ. Trouver g `a l’aide d’une ´equation diff´erentielle.

Exercice 2

Avec Maple, trouver les extremums def(x, y) =yexp(x) +xexp(y).

Sixi`eme s´eance Exercice 1

On consid`ere une suite r´eelle (un)n>0v´erifiant : pour toutn∈N,un+2 = (n+1)un+1−(n+2)unetu0=u1 =−1 1. Calculer, avec un logiciel de calcul formel, les 10 premiers termes de la suite.

2. On posef(x) =

+∞

∑

n=0

u_nxⁿ. Trouver f `a l’aide d’une ´equation diff´erentielle.

3. On poseg(x) =

+∞∑

n=0

un

n!xⁿ. Trouver g `a l’aide d’une ´equation diff´erentielle.

Exercice 2

Avec Maple, trouver les extremums def(x, y) =yexp(x) +xexp(y).

Sixi`eme s´eance Exercice 1

On consid`ere une suite r´eelle (un)n>0v´erifiant : pour toutn∈N,un+2 = (n+1)un+1−(n+2)unetu0=u1 =−1 1. Calculer, avec un logiciel de calcul formel, les 10 premiers termes de la suite.

2. On posef(x) =

+∞

∑

n=0

unxⁿ. Trouver f `a l’aide d’une ´equation diff´erentielle.

3. On poseg(x) =

+∞

∑

n=0

u_n

n!xⁿ. Trouver g `a l’aide d’une ´equation diff´erentielle.

Exercice 2

Avec Maple, trouver les extremums def(x, y) =yexp(x) +xexp(y).