PSI* — 2020/2021 — Corrigé partiel du T.D. 6 Page 1
6. Déterminer l’ensemble de définition de f :x→
∞
n=1
1
n2 xn+ (1−x)n .
Solution : commençons par remarquer que ϕ: x →
∞
n=1
xn
n2 est la fonction somme d’une série entière de rayon de convergence 1 (comme la série géométrique xn, puisque multiplier le coefficientan= 1
n2 par n2 ne modifie pas le RCV).
De plus, ϕest continue sur[−1,1](la série de fonctions considérée converge normalement sur [−1,1]).
Il en résulte que, pourx∈[0,1], les deux séries
∞
n=1
xn n2 et
∞
n=1
(1−x)n
n2 convergent (car1−x∈[0,1]).
Par conséquent, f(x) est bien défini et vautϕ(x) +ϕ(1−x).
À ce stade, nous avons seulement montré que l’ensemble de définition de f contient [0,1].
De plus, six >1, alors
|1−x|=x−1< x d’où (1−x)n=o(xn) et donc xn+ (1−x)n ∼xn. Il en résulte que 1
n2 xn+ (1−x)n diverge grossièrement, par croissances comparées, carx >1.
De même, si x <0,
|x|=−x <1−x d’où xn=o (1−x)n et donc xn+ (1−x)n ∼(1−x)n. Or ici1−x >1, donc 1
n2 xn+ (1−x)n diverge grossièrement, toujours par croissances comparées.
En conclusion,
L’ensemble de définition de f est égal à[0,1].
La fin de l’exercice a été traitée en classe.
