X n=0 (−1)nn2+ 4n−1 n+ 4 .1 n!xn

Mathématiques, Université de Nice Sophia-Antipolis, L2 - Analyse 3 - Fiche 5 - Séries entières.

Exercice 1 (Rayons de convergence)

Calculer le rayon de convergence des séries entières suivantes : f(x) =

+∞

X

n=0

xⁿ, g(x) =

+∞

X

n=0

n+a n+b

n

xⁿ (où a, b >0), h(x) =

+∞

X

n=0

nⁿ

n! xⁿ, i(x) =

+∞

X

n=0

n!

2^2nq(2n)!

xⁿ, j(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿn²+ 4n−1 n+ 4 .1

n!xⁿ. k(x) =

+∞

X

n=1

n! sin(1) sin(1 2) sin(1

3)...sin(1

n)xⁿ, l(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿnⁿ n! x²ⁿ.

Exercice 2 (Sommes de séries entières)

Déterminer la somme des séries entières suivantes : f(x) =

+∞

X

n=0

(−x)ⁿ, g(x) =

+∞

X

n=0

eⁿxⁿ, h(x) =

+∞

X

n=0

n xⁿ⁻¹,

i(x) =

+∞

X

n=0

n xⁿ, j(x) =

+∞

X

n=0

n²xⁿ.

Exercice 3 (Ensemble de dénition et continuité)

Donner l'ensemble des valeurs dex pour lesquelles les fonctions suivantes sont bien dénies f(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ

n², g(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ

n (−1)ⁿ⁺¹. Sont-elles continues sur leur ensemble de dénition ? Justier.

Exercice 4 (Développements en série entière)

1) Rappeler le développement en série entière au voisinage de x= 0 des fonctions suivantes : x7→ 1

1 +x, x7→cosx, x7→e^x, x7→(1 +x)^α. 2) En déduire les développements en série entière au voisinage de x= 0 de :

x7→1/(1 +x²), x7→ Arctanx.

3) Développer en série entière au voisinage dex= 0 les fonctions suivantes : f(x) = 1

2 +x, g(x) =

Z x 0

e^−t2dt, h(x) = ln((2−x)(x+ 3)).

Exercice 5 (Séries entières et équation diérentielle)

On se considère l'équation diérentielle(E) suivante sur l'intervalle ] 0,+∞[, (E) (x²+x)y⁰⁰+ (3x+ 1)y⁰+y = 0.

1

On cherche une solution de cette équation qui soit développable en série entière. On suppose que cette solution est de la forme :

y(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ sur l'intervalle de convergence ]−R, R[.

a) Trouver une relation simple entrean etan+1 pour tout n∈N.

b) En déduire que a_n = (−1)ⁿa_o et une expression simple de y (c'est-à-dire que l'on donnera la valeur de la somme de la série entière obtenue).

Exercice 6 (Séries entières et équation diérentielle) On considère l'équation diérentielle (E)suivante

x(x²+ 1)y⁰⁰+ (x²−1)y⁰ = 1.

1) On suppose qu'il existe une solution y de(E) développable en série entière : y(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ sur l'intervalle de convergence ]−R, R[.

Calculer a1 et montrer que

(n+ 1)an+1+ (n−1)an−1 = 0, n ≥2.

Déterminer les coecients a_n de cette série entière. Quel est son rayon de convergence ? 2) En déduire que l'expression des solutions de(E) développables en série entière est

x7→ −Arctan x+aln(1 +x²) +b, a, b∈_R.

2