X n=1 (−1)nn2+ 4n−1 n+ 4 .1 n!xn

Licence MI 2`eme ann´ee, Analyse, Semestre 1, Feuille 6 (S´eries enti`eres), Ann´ee 2004-2005.

Exercice 1 (Rayons de convergence)

Calculer le rayon de convergence des s´eries enti`eres suivantes :

f(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ, g(x) =

+∞

X

n=1

n+a n+b

n

xⁿ(o`ua, b >0),

h(x) =

+∞

X

n=1

nⁿ

n! xⁿ, i(x) =

+∞

X

n=1

n!

2^2nq(2n)!xⁿ, j(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿn²+ 4n−1 n+ 4 .1

n!xⁿ.

Exercice 2 (Somme de s´eries enti`eres)

D´eterminer le rayon de convergence puis la somme des s´eries enti`eres suivantes :

f(x) =

+∞

X

n=1

(−x)ⁿ, g(x) =

+∞

X

n=0

eⁿxⁿ, h(x) =

+∞

X

n=1

n xⁿ⁻¹, i(x) =

+∞

X

n=1

n xⁿ, j(x) =

+∞

X

n=1

n²xⁿ.

Exercice 3 (Ensemble de d´efinition et continuit´e)

Donner l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles les fonctions suivantes sont bien d´efinies

f(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ

n², g(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ

n (−1)ⁿ⁺¹. Sont-elles continues sur leur ensemble de d´efinition ?

Exercice 4 (D´eveloppements en s´erie enti`ere)

1) Rappeler le d´eveloppement en s´erie enti`ere au voisinage dex= 0 des fonctions suivantes :

x7→1/(1 +x), x7→cosx, x7→e^x, x7→(1 +x)^α.

2) En d´eduire les d´eveloppements en s´erie enti`ere au voisinage dex= 0 de : x7→1/(1 +x²), x7→ Arctanx.

3) D´evelopper en s´erie enti`ere au voisinage de x= 0 les fonctions suivantes :

f(x) = 1

2 +x, g(x) =

Z x

0 e^−t2dt.

Exercice 5 (S´eries enti`eres et ´equation diff´erentielle)

On se donne l’´equation diff´erentielle suivante sur l’intervalle ] 0,+∞[, (E) (x²+x)y^′′+ (3x+ 1)y^′+y = 0 .

On cherche une solution de cette ´equation qui soit d´eveloppable en s´erie enti`ere. On suppose que cette solution est de la forme :

y(x) =

+∞

X

n=0

aⁿxⁿ sur l’intervalle de convergence ]−R, R[.

a) Trouver une relation simple entre an etan+1 pour tout n∈^N.

b) En d´eduire que an = (−1)ⁿao et une expression simple dey (c’est-`a-dire que l’on donnera la valeur de la somme de la s´erie enti`ere obtenue).

1

Exercice 6 (S´eries enti`eres et ´equation diff´erentielle, 2) On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) suivante

x(x²+ 1)y^′′+ (x²−1)y^′ = 1.

1) On suppose qu’il existe une solution f de (E) d´eveloppable en s´erie enti`ere

P+∞

n=0aⁿxⁿ. Calculer a1 et montrer que

(n+ 1)an+1+ (n−1)an−1 = 0, n ≥2.

D´eterminer les coefficients an de cette s´erie enti`ere. Quel est son rayon de conver- gence ?

2) En d´eduire que l’expression des solutions de (E) d´eveloppables en s´erie enti`ere est

x7→ −Arctan x+aln(1 +x²) +b, a, b∈^R. Contrˆole continue, semaine 11

Questions et exercices de cours :

• D´efinition de la convergence simple d’une suite de fonctions.

• D´efinition de la convergence uniforme d’une suite de fonctions.

• Th´eor`eme de continuit´e des suites de fonctions.

• Th´eor`eme d’int´egration des suites de fonctions.

• Th´eor`eme de d´erivation des suites de fonctions.

• Etude de la convergence uniforme sur [a,+∞[ (avec a > 0) de la suite de fonctions d´efinie par fⁿ(x) = n²

1 +n²x².

• Etude de la convergence uniforme sur [0,+∞[ de la suite de fonctions d´efinie par fn(x) = nx

1 +n²x².

• D´efinition de la convergence simple d’une s´erie de fonctions.

• D´efinition de la convergence normale d’une s´erie de fonctions.

• Th´eor`eme de continuit´e des s´eries de fonctions.

• Th´eor`eme d’int´egration des s´eries de fonctions.

• Th´eor`eme de d´erivation des s´eries de fonctions.

• Montrer que F(x) =

+∞

X

n=1

sin(nx)

n² est d´efinie et continue sur ^R.

• Montrer que F(x) =

+∞

X

n=1

e^−nx

n³ est d´erivable sur [0,+∞[.

Remarque : il faut toujours pr´eciser les objets que l’on utilise. Par exemple, il faut dire : “Soit (fn)^n∈N une suite de fonctions d’un intervalle I dans ^R,...”

2