PanaMaths
[1 - 2]Mars 2018
Soit n un entier naturel non nul et soit P un polynôme tel que P X ( )n
soit divisible par X − 1 .
Montrer que P X ( )n est divisible par X
n− 1 .
Analyse
On pose tranquillement les divisions euclidiennes de P par X2+1, X2−1 et X4−1. Le reste de la troisième peut alors être obtenue en choisissant des valeurs judicieuses pour
l’indéterminée.
Résolution
Posons :
( )
0 1 2 20
...
p
k p
k p
k
P X a X a a X a X a X
=
=
∑
= + + + +et :
( ) ( ) ( )
0 1 2( )
2( )
0 2
0 1 2
...
...
p k p
n n n n n
k p
k
n n pn
p
Q X P X a X a a X a X a X
a a X a X a X
=
= = = + + + +
= + + + +
∑
Supposer que Q est divisible par X −1 équivaut à supposer que Q
( )
1 est égal à 0, c’est-à-dire0
0
p k k
a
=
∑
= .Montrer que Xn−1 divise Q équivaut à montrer que tout racine n-ième de l’unité est racine de Q.
Soit donc
2ik n
xk e
= π une racine n-ième de l’unité (k∈
a
0 ;n−1b
) : xkn=1. On a immédiatement :( ) ( )
N0 0
1
0
p p
n j
k k k k
j j
Q x a x a
= =
=
=
∑
=∑
=On a bien le résultat cherché.
PanaMaths
[2 - 2]Mars 2018
Résultat final
Si n est un entier naturel non nul
et si P est un polynôme tel que P X
