b) Montrer que si P est divisible par un polynôme Q de degré 2 dans A, alors Q est irréductible

(1)

Universit´e Blaise Pascal, jeudi 8 janvier 2009 UFR Sciences et Technologies

D´epartement de Math´ematiques et Informatique

Licence de Mathématiques, troisième année U.E. Algèbre et Géométrie,

Durée: trois heures. L’usage du polycopié du cours est autorisé, à l’exclusion de tout autre document;

l’usage des calculatrices, ordinateurs et téléphones portables est interdit durant l’épreuve.

Premier exercice.

On consid`ere le corpsK =Z/2Z={0,1} et l’anneauA=K[X].

1) Donner la liste de tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 dansA, et indiquer (en justifiant avec précision) lesquels sont irréductibles dans A.

2) On consid`ere dansA le polynˆomeP =X⁵+X²+ 1.

a) Montrer queP n’admet pas de diviseur de degr´e 1 dans A.

b) Montrer que si P est divisible par un polynôme Q de degré 2 dans A, alors Q est irréductible; utiliser la question 1) pour en déduire queQne peut alors valoir queX²+X+ 1.

Le polynˆomeP est-il divisible parX²+X+ 1 dans A? c)Conclure que P est irr´eductible dansA.

Deuxi`eme exercice.

On considère l’anneauA=Z[i] ={a+bi;a, b∈Z}des entiers de Gauss. Pour toutz=a+bi∈A, on note N(z) =|z|² =a²+b², ce qui définit une fonctionN :A → N multiplicative (c’est-à-dire N(zz⁰) =N(z)N(z⁰) pour tousz, z⁰ ∈A). On rappelle queA est euclidien, et donc principal.

1) On appelleI l’ensemble des élémentsa+bide Atels que aetbsont de même parité dans Z (tous les deux pairs, ou tous les deux impairs).

a) Montrer queI est égal à l’idéal principal (1 +i)A.

b)Montrer que 1 +iest irr´eductible dansA (on pourra utiliser la fonction multiplicativeN).

Quelle propriété de l’idéalI peut-on en déduire ?

2) On consid`ere dansA les id´eauxJ = (3 +i)A etK = (5 +i)A.

a) Montrer queJ+K=I. Quels sont tous les pgcd de 3 +iet 5 +idans A? b)D´eterminerc, d dansZtels que J∩K= (c+di)A.

c)Montrer que l’id´ealJ n’est pas premier dansA.

3) On considère dans A l’idéal L = (3 + 2i)A. On note h :Z → A/Ll’application qui, à tout entiern∈Z, associe sa classeh(n) =ndans le quotientA/L(ceci a un sens puisqueZ⊂A);

il est clair queh est un morphisme d’anneaux unitaires de ZdansA/L.

a) Montrer que, pour tous a, b∈Z, il existe n∈Ztels que (a+ib)−n∈L. En d´eduire que h est surjective.

b)Montrer que Kerh= 13Z.

c)D´eduire de a) et b) queL est un id´eal maximal deA.

(2)

Probl`eme

1) Soit A un anneau commutatif unitaire. On note M2(A) l’ensemble des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes à coefficients dans A. Pour toute M = (^{a b}_{c d}) ∈ M2(A), on note detM =ad−bc. L’ensembleM₂(A) étant muni du produit matriciel usuel, une matriceM est dite inversible dansM2(A) lorsqu’il existe une matriceN dansM2(A) telle queM×N =N×M =I2. a) Montrer qu’une matrice M ∈ M₂(A) est inversible dans M₂(A) si et seulement si detM appartient au groupe multiplicatif U(A) des éléments de A inversibles dans A, et calculer alors explicitement son inverse.

b) En d´eduire que l’ensemble des matrices de M₂(A) qui sont inversibles dans M₂(A) est un groupe, que l’on notera GL2(A), et que l’application δ :M 7→ detM d´efinit un morphisme de groupes surjectif de GL₂(A) dansU(A).

c) On note SL2(A) l’ensemble des matricesM dansM2(A) telles que detM = 1A. Montrer que SL2(A) est un sous-groupe normal de GL2(A) et que GL2(A)/SL2(A)'U(A).

Dans le cas où A est l’anneau Z/nZ pour un entier n≥2, l’ordre du groupe fini SL2(Z/nZ) sera notéj(n). Le but du problème est de calculerj(n) =|SL₂(Z/nZ)|en fonction den.

2)On fixe dans cette question un nombre premier p. On noteK le corpsZ/pZ.

a) Combien y a-t-il d’´el´ements dansK? Combien y a-t-il de vecteurs (x, y) non-nuls dansK² ? Combien y a-t-il de couples de vecteurs (x, y),(z, t)

de K² qui sont des bases duK-espace vectorielK² ?

b) En d´eduire que le groupe GL₂(K) est fini d’ordrep(p−1)(p²−1).

c) Utiliser la question 1.c) pour en d´eduire quej(p) =p(p²−1).

3)On suppose dans cette question quen=p^α avec pun nombre premier petα≥2 un entier. On pose m=p^α⁻¹ de sorte quen=pm.

On consid`ere les deux anneaux Z/pmZ={0,1,2, . . . pm−1} et Z/mZ={e0,e1,e2, . . . ,m^−1}. On introduit l’applicationϕ:Z/pmZ→Z/mZd´efinie par ϕ(x) =ex pour tout 0≤x≤pm−1, ainsi que l’applicationF:

SL₂(Z/pm Z) −→ SL₂(Z/mZ)

a b c d

7−→

e aeb e c de

a) Montrer queϕest bien d´efinie (c’est-`a-direx=yimpliqueex=eypour tous 0≤x, y≤pm−1), que c’est un morphisme d’anneaux unitaires, et qu’elle est surjective.

On en déduit (la vérification n’est pas demandée ici) queF est un morphisme de groupes surjectif.

b) Montrer que KerF = ^1+mx ^my

mz 1+mt

avec x, y, z, t∈Z tels que :x+t≡0 mod p c) En d´eduire que le sous-groupe KerF est d’ordrep³, puis quej(pm) =p³j(m).

d) En d´eduire par r´ecurrence que j(p^α) =p^3(α⁻¹⁾j(p).

4) On suppose que nest un entier ≥2 quelconque. On note n =p^α₁¹p^α₂². . . p^α_s^s sa d´ecomposition en produit de facteurs premiers (avec pi6=pj pour i6=j, etαi ≥1 pour tout 1≤i≤s).

a) Montrer queZ/nZ'(Z/p^α₁¹Z)×(Z/p^α₂²Z)× · · · ×(Z/p^α_s^sZ) (isomorphisme d’anneaux).

b) En d´eduire avec le r´esultat (?) ci-dessous quej(n) =j(p^α₁¹)j(p^α₂²). . . j(p^α_s^s).

c) Synthétiser les résultats des questions 2) et 3) précédentes pour conclure finalement que:

j(n) =n³ Ys i=1

1− 1 pi2

.

(?)Question facultative hors-barˆeme. Montrer que, siAetA⁰sont deux anneaux commutatifs unitaires,

(3)

Universit´e Blaise Pascal, Seconde session, 23 juin 2009 UFR Sciences et Technologies

Licence de Mathématiques, troisième année U.E. Algèbre et Géométrie,

Durée: trois heures. L’usage du polycopié du cours est autorisé, à l’exclusion de tout autre document;

l’usage des calculatrices, ordinateurs et téléphones portables est interdit durant l’épreuve. La rigueur des raisonnements, la clarté des justifications et la qualité de la rédaction sont des éléments importants dans l’appréciation de la copie.

Premier exercice.

On consid`ere un groupeGfini d’ordren≥1. Pour toutx∈G, on note Ω_x la classe de conjugaison dexet G_xle centralisateur de x. Rappelons que, par d´efinition :

Ωx={gxg⁻¹;g∈G}={y∈G| ∃g∈G, y=gxg⁻¹} et Gx={g∈G|gx=xg}. 1)Montrer que l’ensemble des classes de conjugaison des ´el´ements deGforme une partition de G.

2) On notevxle nombre d’éléments de Ωx et ax le nombre d’éléments deGx. Quelle relation a-t-on, pour toutx∈G, entrevx,axet n?

3)On appelleN le nombre de classes de conjugaison distinctes dansG.

a) Montrer que 1≤N ≤n.

b) Que peut-on dire deGlorsqueN = 1 ? Que peut-on dire deGlorsque N=n? c) Montrer queN = 2 si et seulement siGest le groupe cyclique d’ordre 2.

4)On cherche `a d´eterminer dans cette question tous les groupes finisGtels queN = 3.

a) On suppose queN = 3. Montrer qu’il existe deux diviseursa≥b≥2 dentels que: 1 n+1

a+1 b = 1.

Montrer que, si b≥3, alors on a a=n= 3. Montrer que, sib = 2, alors on a, soitn= 6 et a= 3, soitn=a= 4 ; v´erifier qu’aucun groupe fini ne correspond au second cas.

b) En d´eduire que les groupes finis G tels que N = 3 sont le groupe cyclique d’ordre 3 et le groupe sym´etriqueS3.

5)Dans cette question,Gest le groupe altern´eA₄. a) Combien vautn?

b) Soientγ= [i, j, k] un 3-cycle dansG, etσ∈Gquelconque ; que vautσγσ⁻¹ ?

c) Montrer que si τ= [i, j][k, `] est un produit de deux transpositions disjointes dansG, alorsστ σ⁻¹= [σ(i), σ(j)][σ(k), σ(`)] pour toutσ∈G.

d) D´eterminer les classes de conjugaison de G. Combien vautN ?

Deuxi`eme exercice

1)On considère dans Z[X] un polynômeP =unXⁿ+un−1Xⁿ⁻¹+· · ·+u1X+u0 de degré égal à n≥1 ; on a doncu_i ∈Zpour tout 0≤i≤netu_n6= 0.

a) On se donne un nombre rationnel non-nul y = ^a_b, avec a, b des entiers premiers entre eux, b 6= 0.

Montrer que si y est un z´ero de P dans Q, alors a divise u0 et b divise un dans Z (indication: on pourra montrer d’abord queadiviseu0bⁿ et bdiviseunaⁿ).

b) En déduire que, siP est unitaire et vérifieu0=±1, alors les seuls zéros possibles deP dansQsont 1 et−1.

2)En déduire que tout polynômeP de la formeP =X²+uX±1 ouP =X³+uX²+vX±1, avecu, v∈Z, qui vérifieP(1)6= 0 etP(−1)6= 0, est irréductible dansQ[X].

3) Le r´esultat de la question 1) reste-t-il vrai si l’on remplaceZ par un anneau principal quelconque A ? Par quoi faut-il alors remplacerQ?

... suite au verso →

(4)

Troisi`eme exercice

On noteAl’anneau (commutatif et unitaire) F(R,R) des applications deRdansR. Rappelons que les lois + et.sont l’addition et la multiplication ordinaires des fonctions, d´efinies par:

(f+g)(x) =f(x) +g(x) et (f.g)(x) =f(x)g(x) pour tousf, g∈A, x∈R.

1) Rappeler comment sont définies les applications 0A et 1A, éléments neutres pour l’addition et la multiplication dansA respectivement.

2)Donner un exemple de deux applicationsf etg dansAdistinctes de 0_Atelles quef.g= 0_A. Que peut-on en d´eduire pour l’anneauA?

3)Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une applicationf ∈Aappartienne au groupeU(A) des éléments deAinversibles dansA.

4)Montrer que l’ensembleB={f ∈A|f(0) =f(1)} est un sous-anneau unitaire deA.

5)On noteI={f ∈A|f(0) =f(1) = 0}.

a) Montrer queI est un id´eal deAet un id´eal deB.

b) Donner un exemple de deux applications f et g dansA n’appartenant pas `a I et telles quef.g ∈I.

Que peut-on en d´eduire pour l’id´ealI deA?

c) Montrer que l’application ϕ : B → R définie par ϕ(f) =f(0) pour tout f ∈ B est un morphisme d’anneaux unitaires, surjectif ; vérifier que l’anneau quotientB/I est isomorphe àR. Que peut-on en déduire pour l’idéalI deB ?

d) En résumé,I est-il un idéal premier deA? deB ?

e) Montrer queI est l’intersection de deux id´eaux maximaux deA (que l’on d´eterminera naturellement

`

a partir de la d´efinition deI).

f ) Montrer queIest un id´eal principal deA(on explicitera une applicationf ∈Atelle quef A=Af =I).

Quatri`eme exercice.

On se place dans le plan affine euclidien orient´eE.

1)SoitX l’ensemble de points formé par la réunion de deux droites perpendiculairesD etD⁰ dansE. a) Déterminer le groupeG⁺_X des isométries affines directes laissant globalement invariant l’ensemble X. b) Déterminer le groupeG_Xdes isométries affines laissant globalement invariant l’ensembleX. Le groupe

G_X est-il un groupe fini ?

2)SoitY l’ensemble de points formé par la réunion de deux droites strictement parallèles ∆ et ∆⁰ dansE. a) Déterminer le groupeG⁺_Y des isométries affines directes laissant globalement invariant l’ensemble Y. b) Déterminer une isométrie indirecte de E laissant globalement invariant l’ensemble Y. Ceci suffit-il

pour d´eterminer le groupeG_Y de toutes isom´etries affines laissant globalement invariant l’ensembleY

? Le groupeG_Y est-il un groupe fini ?

(5)

Universit´e Blaise Pascal, jeudi 7 janvier 2010 UFR Sciences et Technologies

Licence de Mathématiques, troisième année U.E. Algèbre et Géométrie

Durée: trois heures. L’usage du polycopié du cours est autorisé, à l’exclusion de tout autre document; l’usage des calculatrices, ordinateurs et téléphones portables est interdit durant l’épreuve.

Exercice I.

On consid`ere dans Qle sous-ensemble des nombres dyadiques B ={₂^an;a∈Z, n∈N}.

1)Montrer queB est un sous-anneau deQcontenant Z, et qui n’est pas un corps.

2) Soit s le morphisme d’anneau unitaire Z[X] → Q d´efini par s(X) = ¹₂. L’image par s d’un polynˆome quelconqueP =P_m

i=0aiXⁱ de Z[X] est donc le rationnels(P) =P_m

i=0 ai

2ⁱ.

Déterminer Ims. Montrer que Kers est égal à l’idéal principal I = (1−2X)Z[X] engendré par (1−2X). Conclure queB 'Z[X]/I.

3)Déduire des questions précédentes queIest un idéal premier non maximal deZ[X]. Que peut-on en déduire pour l’anneauZ[X] ?

Exercice II.

On fixe dans cet exerciceGun groupe abélien. On noteT(G) le sous-ensemble formé des éléments de Gqui sont d’ordre fini dans G. La loi du groupeGétant a priori notée multiplicativement, un

´

el´ementx∈Gappartient donc `aT(G) si et seulement s’il existe un entiern≥1 tel quexⁿ=e.

On dit queGest un groupe sans torsion siT(G) ={e}, queGest un groupe de torsion siT(G) =G, et que Gest mixte si {e} 6=T(G)6=G.

1) Donner un exemple de groupe G qui est de torsion. Donner un exemple de groupe G qui est sans torsion. Montrer que C^∗ est mixte.

2) Montrer que T(G) est un sous-groupe de G, et que le groupe quotient G/T(G) est un groupe ab´elien sans torsion.

3)On prend dans cette question le groupeG=Q/Z, muni de l’addition. On note q:x7→q(x) =x la surjection canoniqueQ→Q/Z.

a) Réécrire comment se traduit ici, en notation additive, le fait qu’un élément x ∈ Q/Z (avec x∈Q) appartienne àT(G).

b) Montrer queG=Q/Zest un groupe de torsion et qu’il est infini. Est-il vrai que tout groupe ab´elien fini est de torsion ? (justifier votre r´eponse).

c) Pour tout entier n ≥ 1, on note Hn le sous-groupe cyclique engendr´e par q(_n¹) dans Q/Z. Montrer queH_n est d’ordren.

d) Réciproquement, soitKun sous-groupe deQ/Zquelconque. Soitn≥1 l’ordre deK. Montrer que K = H_n. [Indication: vérifier que, pour tout x = q(â_b) ∈ K avec a, b entiers premiers entre eux, on a bqui divise na, et en d´eduire que x∈H_n].

e) Conclure que, pour tout entiern≥1, il existe un et un seul sous-groupe d’ordrendansQ/Z. f ) Citer (sans rappeler la d´emonstration) un type de groupe ab´elien fini admettant un et un seul

sous-groupe d’ordrenpour tout entier n≥1 divisant l’ordre de ce groupe.

(6)

Exercice III 1)On poseω = 1 +√

5

2 ∈R. On consid`ere dans Rle sous-ensemble B={a+bω;a∈Z, b∈Z}. a) V´erifier que ω² =ω+ 1.

b) Montrer queB est un sous-anneau deRcontenant Z.

c) Soit l’applicationσ :B →B qui, `a toutx=a+bωavec a, b∈Z, associeσ(x) = (a+b)−bω.

Montrer queσ est une bijection telle que σ⁻¹ =σ, et que c’est un automorphisme d’anneau unitaire de B.

d) En déduire que l’application N : B → Z qui, à tout x = a+bω avec a, b ∈ Z, associe N(x) =xσ(x) = a(a+b)−b² est multiplicative (c’est-à-dire que N(xy) =N(x)N(y) pour tousx, y∈B).

2)On consid`ere dans Rle sous-ensemble K={α+βω;α∈Q, β∈Q}.

a) Montrer que, pour tout élément z ∈ R, on a z ∈K si et seulement s’il existe x, y ∈B avec y6= 0 tels quez= ^x_y. Il en résulte queK est égal au corps des fractions deB (on ne demande pas de rédiger ici une justification de ce point).

b) On prolongeσ `a K en posant σ(^x_y) = ^σ(x)_σ(y) pour x, y∈B,y 6= 0. Montrer que l’on a encore σ(z) = (α+β)−βω pour tout z=α+βω ∈K, avec α, β ∈Q.

c) En d´eduire queN se prolonge en l’application multiplicativeN :K →Qqui, `a toutz=α+βω avec α, β∈Q, associe N(z) =zσ(z) =α(α+β)−β².

d) Montrer que, pour tousx, y∈B avecy6= 0, il existe un ´el´ementq∈B tel que|N(^x_y−q)|<1.

[Indication: on pourra utiliser le fait que, pour toutα∈Q, il existee∈Ztel que|α−e| ≤ ¹₂].

e) En d´eduire queB est euclidien (pr´eciser le stathme).

3)On consid`ere dans Rle sous-ensemble A={u+v√

5 ; u∈Z, v∈Z}.

a) Montrer queA est inclus dansB, puis queA est un sous-anneau deB contenantZ. b) Montrer que la restriction deN `aAest d´efinie parN(u+v√

5) =u²−5v² pour tousu, v∈Z. Montrer que le groupe U(A) des éléments inversibles dans Aest égal à l’ensemble desx∈A tels queN(x) =±1, et que c’est un ensemble infini.

c) Vérifier que les trois éléments 1 +√

5, 1−√

5 et 2 sont irréductibles dans A. [Indication: on pourra vérifier au préalable qu’il n’existe pas d’entiersu, vtels queu²−5v² =±2]. En d´eduire deux décompositions distinctes de l’élément 4 de A en produit de facteurs irréductibles non associés dans A.

d) En d´eduire queA n’est pas principal.

4) Il résulte des questions précédentes que Z ⊂ A ⊂ B, avec B euclidien (donc principal) et A non principal. Donner l’unique décomposition de l’élément 4 en produit de facteurs irréductibles dans B. Comparer au résultat de la question 3.c et expliquer, par un commentaire pertinent et argumenté, pourquoi l’apparente contradition n’en est pas une.

(7)

Universit´e Blaise Pascal, jeudi 24 juin 2010 UFR Sciences et Technologies

Durée: trois heures. L’usage du polycopié du cours est autorisé, à l’exclusion de tout autre document; l’usage des calculatrices, ordinateurs et téléphones portables est interdit durant l’épreuve.

Exercice I.

Soit Gun groupe noté multiplicativement. On désigne par eson élément neutre. On suppose que G est abélien. Pour tout entier n ≥ 1 fixé, on désigne par Kn le sous-ensemble de G formé des

´

elémentsx tels que xⁿ =e, et par H_n le sous-ensemble des éléments de G qui sont une puissance n-i`eme d’un élément deG. En d’autres termes:

Hn={y∈G;∃x∈G, y=xⁿ}={xⁿ;x∈G} et Kn={x∈G;xⁿ=e}. 1)Montrer queH_n etK_n sont des sous-groupes deG.

2)Que valent H_net K_n lorsquen= 1 ?

3)D´eterminerHn etKn dans chacun des cas suivants:

a) G=R^∗ etn= 2, b) G=C^∗ etn= 2,

c)G={1, i,−1,−i} ⊂C^∗ pourn= 2, puis pourn= 3, puis pour n= 4.

4)Montrer que le groupe quotientG/K_n est isomorphe `a H_n.

5) On prend dans cette question G = hai = {e, a, a², . . . , a^p−1} cyclique d’ordre p (avec p ≥ 2).

Soit nun entier tel que 1≤n≤p. D´eterminer les sous-groupes Hn etKn, en pr´ecisant leur ordre (on pourra faire intervenir le pgcd dde netp).

Exercice II.

On note Gle groupe GL(2,R) et on consid`ere dans Gles matrices suivantes:

I = 1 0

0 1

, A=

0 1

−1 0

, B = 0 i

i 0

, C=

i 0 0 −i

, R=

0 −1

1 0

, S =

0 1 1 0

. 1)On note H l’ensemble {I,−I, A,−A, B,−B, C,−C}.

a) Montrer queAB=C, A² =−I, AB=−BA.

On admettra sans écrire les vérifications que l’on a de même:

BC=A, B² =−I, BC=−CB, CA=B, C² =−I, CA=−AC.

b) Montrer queH est un sous-groupe de G.

c) D´eterminer tous les sous-groupes deH et montrer qu’ils sont normaux dans H.

d) Pr´eciser le centre Z(H).

(8)

2)On note Dle sous-groupe de Gengendr´e par R etS.

a) Ecrire tous les ´el´ements de D. Quel est l’ordre de D ? A quel groupe classique D est-il isomorphe ?

b) D´eterminer tous les sous-groupes deD.

c) Pour tout pointM(x, y) du plan affine euclidienE rapporté à un repère orthonorméRet toute matriceT =

α β γ δ

∈D, on noteT.M le pointM⁰(x⁰, y⁰) tel quex⁰ =αx+βy, y⁰ =γx+δy.

Montrer que le groupe D opère sur l’ensemble E par (T, M) 7→ T.M. Décrire explicitement l’orbite d’un pointM quelconque sous cette action, en distinguant suivant que les coordonnées (x, y) de M vérifient: xy = 0, ou xy 6= 0 et |x|= |y|, ou xy 6= 0 et |x| 6= |y| ; (on fera des dessins correspondant à chaque situation).

d) Montrer que les groupesH etDne sont pas isomorphes.

3) Pour tout n, on consid`ere la matrice Γ_n =

cos^2π_n −sin^2π_n sin^2π_n cos^2π_n

, et on note C_n le sous-groupe engendr´e par Γn dans G.

a) Montrer queCn est cyclique d’ordren.

b) D´emontrer que les groupesC₈,C₄×C₂ etC₂×C₂×C₂ ne sont pas deux `a deux isomorphes.

c) Démontrer que ni H ni D ne sont isomorphes à aucun des trois groupes de la question précédente.

Exercice III.

On cherche `a trouver tous les couples d’entiers (y, z)∈Z² solutions de l’´equation:

y²+ 4 =z³ (?)

1)V´erifier que (11,5) et (2,2) sont des solutions; en d´eduire deux autres couples solutions.

2)Supposons que (y, z) est une solution de (?) avec y impair.

a) Montrer que l’on a, dans l’anneauZ[i] des entiers de Gauss, l’égalité (y+ 2i)(y−2i) =z³ b) Considérons a+ib, aveca, b∈Z, un diviseur commun dey+ 2iety−2idans l’anneau Z[i].

Montrer quea+ibdivise 2y et 4i. En déduire quea²+b² divise 4 dansZ. Quelles sont alors les valeurs possibles pour a+ib? Vérifier que certaines d’entre elles contredisent l’imparité de y. Conclure que y+ 2iety−2isont premiers entre eux dansZ[i].

c) Déduire des questions a) et b) quey+ 2iest un cube dansZ[i], en précisant quelles propriétés arithmétiques de l’anneauZ[i] sont utilisées.

d) En ´ecrivanty+ 2i= (a+ib)³ avec a, b∈Z, trouver les valeurs possibles dey puis de z.

3)Supposons que (y, z) est une solution de (?) avec y pair.

a) Montrer que z est pair. En posant y = 2u et z = 2v, montrer que l’on est ramené à la résolution deu²+ 1 = 2v³, avec uimpair.

b) En raisonnant comme dans la question 2), montrer qu’un pgcd de u+i et u−i est 1 +i.

Quels sont les autres pgcd ?

c) En déduire qu’il existe deux éléments a+ib et c+id premiers entre eux dans Z[i], avec a, b, c, d∈Z, tels queu+i= (1 +i)(a+ib) etu−i= (1−i)(c+id).

d) D´eduire des questions a) et c) que a+ibest un cube dansZ[i]. En notant a+ib= (s+it)³ avec s, t∈ Z, expliciter la partie imaginaire de (1 +i)(a+ib) et v´erifier qu’elle est divisible pars−tdansZ. Quelles sont les valeurs possibles de sett ?

e) En d´eduire les valeurs possibles de u, puis dev ; en d´eduirey etz.

Z²

(9)

Universit´e Blaise Pascal, vendredi 7 janvier 2011 UFR Sciences et Technologies

Durée: trois heures. L’usage du polycopié du cours est autorisé, à l’exclusion de tout autre document ; l’usage des calculatrices, ordinateurs et téléphones portables est interdit durant l’épreuve.

Le sujet comprend deux parties, représentant chacune environ la moitié de la note d’ensemble de l’épreuve.

Partie I.

Cette partie est composée d’une série de questions brèves, indépendantes les unes des autres. On attend pour chacune de ces questions une preuve courte et rigoureuse.

Question 1. Montrer que, dans le groupe symétrique S₅, il n’existe pas d’élément d’ordre 14, et qu’il n’existe pas non plus d’élément d’ordre 15.

Question 2. On note G le groupe multiplicatif U(Z/20Z) formé des éléments inversibles dans l’anneau Z/20Z, et H le sous-groupe de G engendré par l’élément 9. Déterminer G et H, et reconnaˆıtre à isomorphisme près le groupe quotientG/H.

Question 3. On considère le groupeG= GL₂(R). Le sous-groupeHformé des matrices diagonales sans zéro sur la diagonale est-il normal dansG ?

Question 4. On se place dans le plan affine euclidien E rapporté à un repère orthonormé et on appelle X l’ensemble de tous les points de E de coordonnés (n,0) où n décrit Z. Déterminer le groupeG⁺_X des isométries directes deE qui laissentX globalement invariant. Déterminer le groupe G_X de toutes les isométries de E qui laissentX globalement invariant.

Question 5. D´eterminer le plus petit sous-anneau unitaire deQcontenant ¹₅.

Question 6. SoientA un anneau commutatif unitaire et P un idéal deA distinct deA. Montrer queP est un idéal premier deA si et seulement s’il satisfait la propriété (?) suivante :

quels que soient des id´eaux I etJ de A, si IJ ⊆P, alorsI ⊆P ou J ⊆P.

Question 7. On considère le corpsK=Z/2Z={0,1}. Déterminer tous les polynômes irréductibles dansK[X] de degré inférieur ou égal à 3.

.../...

(10)

Partie II.

Cette partie est un court problème ; on pourra admettre le résultat d’une question pour l’utiliser si nécessaire dans une question suivante.

1)Soit A un anneau (non-nul) commutatif unitaire qui n’est pas un corps.

On noteU(A) le groupe multiplicatif des éléments inversibles dansA, et I l’ensemble des éléments de A qui ne sont pas inversibles dansA.

a) Montrer queI 6={0} etI 6=A.

b) Montrer que les trois conditions suivantes sont ´equivalentes:

(i) I est stable par addition ; (ii)I est un idéal deA ; (iii)A possède un unique idéal maximal.

On dit que l’anneau Aest local s’il satisfait l’une de ces conditions ´equivalentes.

c) Montrer que, siAest local, alors tout élémentx∈Avérifiex∈U(A) ou 1−x∈U(A).

d) On suppose queA est local ; déterminer les élémentsx∈Aqui vérifientx² =x.

2)On prend dans cette questionA=Z/p^sZ, o`u p est un nombre premier etsun entier≥2 fix´e.

a) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur n∈Zpour quensoit inversible dans A.

b) En d´eduire que A est un anneau local.

3)On fixe un nombre premierp. On consid`ere dans Qle sous-ensemble:

A={ a

b ; a∈Z, b∈Z, b6≡0 modulop }.

a) Montrer queA est un sous-anneau unitaire deQcontenant Z.

b) Montrer que, siB est un sous-anneau deQ contenantA et distinct deA, alorsB =Q.

c) Montrer que, pour tout id´eal non-nul I de A, il existe un unique entier naturel n tel que I =pⁿA ; [indication: on remarquera que, si ^a_b ∈I avec pne divisant pas a, alors ^b_a ∈A ].

d)En déduire que l’anneauAest principal, et expliciter tous ses idéaux en précisant les relations d’inclusion entre eux.

e)En déduire les idéaux premiers deA, les idéaux maximaux deA, et queAest un anneau local.

f ) Montrer que, pour tout s∈N^∗, l’anneau quotientA/p^sA est isomorphe à l’anneauZ/p^sZ. [Indication: considèrer h : Z → A/p^sA la restriction au sous-anneau Z de A de la surjection canonique A→A/p^sA, vérifier que h est surjective et déterminer son noyau].

En d´eduire que l’anneauA/p^sA est local.

4)On considère le corps K =R(X) des fractions rationnelles en une indéterminéeX à coefficients réels. On rappelle que K est le corps de fractions de l’anneau de polynômesR[X] et donc que tout

´

elément deK s’écrit comme un quotient F = ^P_Q de deux polynômesP etQde R[X],Q6= 0.

On fixe un réelaquelconque et on considère le sous-ensembleAdeKformé des fractions rationnelles qui peuvent s’écrire ^P_Q avec P etQ dansR[X] vérifiantQ(a)6= 0.

a) Montrer queA est un sous-anneau unitaire deK contenantR[X].

b)Donnner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un élément F soit inversible dansA.

(11)

Universit´e Blaise Pascal, lundi 20 juin 2011 UFR Sciences et Technologies

Le sujet est composé de trois exercices indépendants (deux exercices brefs d’applications du cours, et un troisième constituant un petit problème). La rigueur des raisonnements, la clarté des justifi- cations et la qualité de la rédaction sont des éléments importants dans l’appréciation de la copie.

Exercice I.

On considère dans le groupe symétriqueS₁₆ l’élément σ =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

10 7 11 4 8 15 3 12 13 9 16 5 1 14 6 2

.

Donner le support, les orbites, la d´ecomposition en cycles disjoints, l’ordre et la signature de σ.

Cette permutation appartient-elle au groupe altern´eA16?

Exercice II.

Pour tout couple (a, b)∈R^∗×R, on consid`ere l’applicationf_a,b:R→Rd´efinie parf(x) =ax+b pour toutx∈R.

1) On note G={fa,b;a∈R^∗, b∈R}l’ensemble de toutes les applications de cette forme.

a) Montrer que tout ´el´ement de Gest une bijection deRsur R.

b) Montrer queGest un groupe non ab´elien [on pourra montrer que Gest un sous-groupe du groupe S_R de toutes les bijections deR surR].

2) On consid`ere dansG les deux sous-ensembles:

T ={f_1,b;b∈R} et K ={f_a,0;a∈R^∗}.

a) Montrer queT est un sous-groupe deGisomorphe au groupe additifR, et queK est un sous-groupe de Gisomorphe au groupe multiplicatifR^∗.

b) Montrer queT est normal dansGet queG/T 'R^∗; [on pourra construire un morphisme de groupesG→R^∗ surjectif de noyauT].

c) Montrer queGest le produit semi-direct de T parK.

.../...

(12)

Exercice III.

On appelle nombre décimal tout nombre rationnel x qui peut s’écrire sous la forme x= ₁₀ân avec a∈Zetn∈N. L’ensemble des nombres décimaux est notéD.

1) Montrer que : Z⊂ D⊂Q ; vérifier que ces inclusions sont strictes en donnant un exemple d’un décimal qui n’est pas entier, et d’un rationnel qui n’est pas décimal.

2) Montrer queDest un sous-anneau unitaire int`egre deQ. Est-ce un sous-corps ?

3) Montrer que tout nombre décimal non-nul xadmet une écriture unique de la formex= ₂nâ5^m

avec m, n, a∈Z etanon divisible par 2 ni par 5.

4) On note U(D) le groupe multiplicatif formé des éléments de Dqui sont inversibles dansD. a) Montrer que 0,25∈U(D) mais que 0,24∈/ U(D).

b) Montrer qu’un nombre d´ecimal appartient `a U(D) si et seulement s’il est de la forme ε2ⁿ5^m avec m, n∈Z etε=±1.

c) En notantCle sous-groupe{1,−1}deU(D), montrer que le groupe quotientU(D)/Cest isomorphe au groupe additifZ² ; [indication: on pourra utiliser la question pr´ec´edente pour construire un morphisme de groupes surjectifU(D)→Z² de noyau C].

5) Soit I un id´eal non-nul de D.

a) Montrer queI contient nécessairement des entiers strictement positifs. On notekle plus petit élément de I∩N^∗ ; vérifier que k n’est divisible ni par 2 ni par 5, et quekD⊂I.

b) Justifier que tout ´el´ementx de I est de la forme ^qk+r₁₀n avecq ∈Z,n, r∈Net 0≤r < k;

v´erifier que l’on a n´ecessairement r= 0.

c) Conclure que I =kD.

d) Quelle propriété de l’anneauDvient-on d’établir ?

6) Soitδl’applicationD^∗ →Nqui, à tout nombre décimal non-nulxécrit sous la forme canonique x= ₂nâ5^m avecm, n, a∈Zetanon divisible par 2 ni par 5 (voir question 3), associeδ(x) =|a|. Montrer que l’anneau Dest euclidien de stathmeδ.

7) Soit pun nombre premier distinct de 2 et de 5.

a) Justifier que, dansZ/pZ, l’élément 10 est inversible. Pour tout nombre décimal x= ₁₀ân

avec a ∈ Z et n ∈ N, on pose f(x) = a.(10)⁻ⁿ dans Z/pZ. Montrer que l’application f :D→Z/pZest bien d´efinie.

b) Montrer quef est un morphisme d’anneaux unitaires, surjectif, et d´eterminer son noyau.

c) Conclure que les anneauxD/pD etZ/pZ sont isomorphes.

d) Quelle propriété peut-on en déduire pour l’anneauD/pD ? Quelle propriété peut-on en déduire pour l’idéalpD deD ?

8) On se place dans l’anneau de polynômesZ[X]. On noteJ = (1−10X)Z[X] l’idéal principal engendré par le polynôme 1−10X. On considère le morphisme de substitution f :Z[X]→Q défini par f(X) = ₁₀¹ ; en d’autres termes, l’image parf d’un polynôme quelconque P(X) = P_n

i=1ciXⁱ `a coefficients entiers est le nombre rationnelf(P) =P_n

i=1 ci

10ⁱ. a) Montrer que Imf =D, puis que Kerf =J.

b) En d´eduire queD est isomorphe `a Z[X]/J.

c) Conclure queJ est premier mais non maximal dansZ[X]. Que peut-on en d´eduire pour

(13)

Universit´e Blaise Pascal, mardi 10 janvier 2012 UFR Sciences et Technologies

Exercices d’application du cours.

Ex 1. Soit U le groupe multiplicatif des nombres complexes de module égal à 1. Montrer que l’applicationf :R→C^∗ définie parf(t) = exp(2iπt) pour toutt∈Rest un morphisme de groupes de (R,+) dans (C^∗,×) et que R/Z est isomorphe à U. Montrer de même, en introduisant un morphisme de groupes bien choisi queC^∗/U est isomorphe au groupe multiplicatifR^∗+.

Ex 2. Quelles sont les valeurs possibles de 1 ≤a, b≤ 12 pour queσ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 6 5a4 11 10b 9 7 12 2

soit une permutation dansS₁₂ ? Pour quelles valeurs deaetbla permutationσ est-elle d’ordre 20 dansS12 ; [indication: on pourra utiliser la d´ecomposition deσ en produit de cycles disjoints].

Ex 3. On consid`ere le nombre complexeω =i√

3, l’anneauA=Z[ω] ={a+bi√

3 ; a, b∈Z}et son corps de fractions K =Q[ω] ={x+yi√

3 ; x, y∈Q}. Montrer que le polynômeP =X²−X+ 1 est irréductible dansZ[X], irréductible dansA[X], mais non irréductible dansK[X]. Que peut-on en déduire pour l’anneauA ?

Probl`eme.

Les cinq parties du problème sont largement indépendantes (sauf mention explicite) et le résultat d’une question non résolue peut être admis et utilisé pour traiter la suite.

Pour tout entier n≥1, on note Gn le groupeU(Z/nZ), c’est-à-dire le groupe multiplicatif formé des éléments inversibles de l’anneauZ/nZ. On rappelle qu’un élément xde Z/nZappartient à Gn

si et seulement si les entiersx etnsont premiers entre eux.

Un entier natureln est dit primairelorsqu’il est une puissance non triviale d’un nombre premier, c’est-`a-dire lorsqu’il existe un nombre premier pet un entier α∈N^∗ tel quen=p^α.

1) L’ensemble des éléments non-inversibles de Z/nZ. Pour tout entier n≥1, on note B_n le sous-ensemble deZ/nZformé des éléments non-inversibles dans l’anneau Z/nZ.

a) Soit n ≥2 un entier qui n’est pas primaire. Montrer qu’il s’écrit n= abavec 1 < a < net 1< b < n deux entiers premiers entre eux ; [indication: considérer la décomposition den en produit de facteurs premiers]. Vérifier que a∈B_n etb∈B_n. Montrer quea+b est premier avec n.

b) Soit n=p^α un entier primaire, avec p premier et α∈N^∗. Montrer que pour tout x ∈Z, on a: x∈Bn si et seulement sipdivisex.

c) Soitn≥2 un entier. D´eduire de a) et b) queB_n est un sous-groupe du groupe additifZ/nZ si et seulementn est primaire.

(14)

2) Fonctions arithmétiques multiplicatives. On appelle fonction arithmétique multiplicative toute application non-nullef :N^∗ →Zqui vérifief(ab) =f(a)f(b) pour tout couple (a, b) d’entiers naturels non-nuls premiers entre eux.

a) Montrer qu’une telle application v´erifief(1) = 1.

b) Montrer que, si f est une fonction arithm´etique multiplicative, il suffit, pour connaˆıtre les valeursf(n) pour tout entier n≥1, de connaˆıtref(n) pour tout entiern primaire.

c) Soit f : N^∗ → Z une fonction arithm´etique multiplicative. On d´efinit g : N^∗ → Z par g(n) = P

d|nf(d) pour tout n∈N^∗ (ce qui signifie queg(n) est la somme des valeurs prises par f sur tous les diviseurs positifs de n). Montrer que g est une fonction arithm´etique multiplicative ; [indication: v´erifier d’abord que, si a et b sont premiers entre eux, tout diviseur deabest produit d’un diviseur de apar un diviseur deb].

3) Le groupe Gn et la fonction indicatrice d’Euler. On rappelle que l’on appelle indicatrice d’Euler l’application ϕ : N^∗ → N^∗ d´efinie par ϕ(1) = 1 et, pour tout entier n ≥ 2, ϕ(n) est le nombre d’entiers compris entre 1 et n−1 qui sont premiers avec n.

a) Rappeler (sans d´emonstration) quel lien existe entre l’entierϕ(n) et le groupeGn. b) Calculerϕ(n) pour 1≤n≤10. Donner la valeur deϕ(p) pour tout nombre premierp.

c) Montrer que les groupesG₁₀ etG₁₂ sont de mˆeme ordre mais ne sont pas isomorphes.

d) Soitn=p^α un entier primaire, avecppremier etα≥1. Montrer que les entiers compris entre 1 etn−1 qui ne sont pas premiers avecnsont ceux qui sont divisibles parp; [indication: on pourra utiliser 1.b)]. Combien y en a-t-il ? Conclure que ϕ(p^α) =p^α−p^α⁻¹.

e) Soit a et b deux entiers naturels non-nuls. Montrer qu’un ´el´ement (x,b y) est inversible danse l’anneau Z/aZ×Z/bZ si et seulement si bx est inversible dans Z/aZ et ey est inversible dans Z/bZ.

f ) En utilisant le théorème chinois, déduire des questions a) et e) que ϕ est une fonction arithmétique multiplicative.

g) D´eduire de d) et f) une formule donnant explicitementϕ(n) pour tout entiern≥2 en fonction de la d´ecomposition de nen produit de facteurs premiers.

4) Le groupe G_n et la fonction indicatrice d’Euler (suite). On établit dans cette question deux applications des questions précédentes.

a) Montrer que l’on a la formule (dite identit´e d’Euler): P

d|nϕ(d) =n pour toutn∈N^∗; [indication: ´etablir la formule pour n primaire, puis utiliser 3.f), 2.c) et 2.b)].

b) Soit n≥2 un entier. Montrer que, pour tout entiera≥1 premier avec n, on a la propri´et´e (dite d’Euler) suivante : a^ϕ(n)≡1 modn ; [indication: consid´erer adansGn].

5) Le groupe Gn pour npremier. On fixe ici un nombre premierpet l’on ´etudie le groupeGp. a) Rappeler quel est l’ordre deG_p.

b) Pour tout diviseur d de p−1, on note E_d l’ensemble des éléments x de G_p qui vérifient x^d= 1. Montrer queE_d est un sous-groupe deG_p. En considérant le polynômeX^d−1 dans (Z/pZ)[X], justifier que l’ordre de E_dest au plus d.

c) Pour tout diviseurdde p−1, on note Γd l’ensemble des ´el´ementsx deGp qui sont d’ordred dansGp. Montrer que Γ_d est inclus dansE_d, et n’est pas un sous-groupe deGp.

d) Soit dun diviseur dep−1 tel que Γ_d 6=∅. Montrer que, pour tout x ∈Γ_d, le groupe E_d est

égal au groupe cyclique engendré parx. En déduire que le cardinal de Γ_d estϕ(d).

e) Montrer à l’aide du théorème de Lagrange que: P

d|p−1Card Γ_d=p−1.

f ) D´eduire de d), e) et 4.a) que Γ_d6=∅pour tout diviseur dde p−1.

(15)

Universit´e Blaise Pascal, lundi 25 juin 2012 UFR Sciences et Technologies

Premier exercice.

Soit Aun anneau commutatif int`egre.

1)Montrer que, pour tout ´el´ement a6= 0 deA, l’applicationf_a :x7→axde AdansAest injective.

2)En d´eduire que, si Aest fini, alors A est un corps.

3)En d´eduire que, dans un anneau fini, tout id´eal premier est maximal.

Deuxi`eme exercice.

On se place dans le groupe sym´etriqueS_n, avec n≥2.

1)Montrer que, si τ = [i, j] est une transposition dans Sn, alors, pour toute permutation σ ∈Sn, la conjuguéeστ σ⁻¹ est égale à la transposition [σ(i), σ(j)].

2)En d´eduire que deux transpositions quelconques deS_n sont toujours conjugu´ees dans S_n. 3) Soit H un sous-groupe de S_n normal dans S_n tel que H contienne une transposition. Montrer queH =S_n.

Troisi`eme exercice.

On considère le polynôme F =X³−X+ 2 dans Z[X]⊂Q[X], et F sa réduction modulo 3 dans (Z/3Z)[X].

1)Montrer queF est irr´eductible dans (Z/3Z)[X].

2)En déduire que F est irréductible dansZ[X], puis queF est irréductible dans Q[X] (on citera avec soin les théorèmes utilisés).

3) Soit I = (F) =FQ[X] l’id´eal principal de Q[X] engendr´e par F. Montrer que Q[X]/I est un corps. Quel est l’inverse dans ce corps de la classe de X ?

Quatri`eme exercice.

On considère l’anneau A = Z[i] = {a+bi;a, b ∈ Z} des entiers de Gauss. On rappelle qu’il est principal. On note N : A → N l’application multiplicative définie par N(z) = |z|² = a² +b² pour tout z = a+bi ∈ A. On rappelle enfin que le groupe des ´eléments inversibles de A est:

U(A) ={1,−1, i,−i}={z∈A;N(z) = 1}. On consid`ere dans A les trois id´eaux:

I = (1 +i)A, J = (3 +i)A, K = (5 +i)A.

suite au verso...