Université Bordeaux 1 MHT631 – Licence
Mathématiques Année 2010–2011
FEUILLE D’EXERCICES no 12 Polynômes orthogonaux Exercice 1 – Soit E =Rn[X]. On munit E de la forme
hP, Qi= Z 1
−1
P(t)Q(t)
r1−t
1 +tdt.
1) Montrer que h, i définit un produit scalaire surE, qui est donc euclidien.
2) On considère l’application ϕ de E dans E définie par ϕ(P) = (X2 −1)P00+ (2X+ 1)P0. Montrer que pour tout P, Q∈E on a hP, ϕ(Q)i=hϕ(P), Qi.
3) Montrer que ϕ∈ L(E)et possède n+ 1 valeurs propres distinctes.
4)Montrer qu’il existe une base orthonormée deE constituée de vecteurs propres Pk (0 6 k 6 n) de ϕ vérifiant degPk =k et possédant k racines distinctes dans [−1,1].
Exercice 2 – Pour deux plolynômes P etQ deR[X] on pose hP, Qi=P(0)Q(0) +
Z 1
0
P0(x)Q0(x)dx,
où P0 et Q0 désignent les polynômes dérivés de P et Q.
1) Montrer que (P, Q)7→ hP, Qidéfinit un produit scalaire sur R[X].
2) Montrer qu’il existe une unique famille (Pn)n>0 de polynômes de R[X] véri- fiant :
• pour tout n>0, Pn est unitaire de degré n,
• pour tout m>0 et toutn >0, si m6=n, hPm, Pni= 0.
3) Calculer P0,P1 etP2. 4) On pose pour tout n >0,
Qn(x) = dn dxn
x(1−x)n+1 .
Montrer queQn est un polynôme dont on précisera le degré et le terme constant.
5) En effectuant des intégrations par parties successives, montrer que sin >0et si Q est de degré6n+ 1 on a hQn, Qi= 0.
6) En déduire que pour tout n >2, il existe cn ∈R∗ tel que Pn =cnQn−2. 7) Calculer cn pour n>2.
Exercice 3 – On considère surR[X] la forme bilinéaire définie par hP, Qi=
Z 1
0
P(x)Q(x)x(1−x)dx.
1) Rappeler brièvement pourquoi (P, Q)7→ hP, Qi est un produit scalaire.
2)On note(Pn)n>0la famille de polynômes orthogonaux unitaires associée àh, i.
Calculer P0, P1 etP2.
3) On pose pour tout n >0, Qn= 1
X(1−X) dn dXn
Xn+1(1−X)n+1
.
Montrer que pour tout n, Qn est un polynôme de degré n.
4) Montrer que la famille(Qn)n>0 est orthogonale pourh, i.
Indication : on pourra montrer en effectuant des intégrations par parties succes- sives que si n>1 et si Q est de degré< n on a hQn, Qi= 0.
5) En déduire que pour tout n, il existecn∈R∗ tel que Qn=cnPn. Calculer cn. 6) On sait que les Pn vérifient une relation de récurrence d’ordre 2 de la forme
Pn = (X−an)Pn−1−bnPn−2 pour toutn>2.
Déterminer les coefficients an et bn de cette relation.
Indication : on pourra poser Pn =Xn+λnXn−1 +µnXn−2+· · ·, calculer an et bn en fonction desλi et desµi et déterminer explicitement ces derniers.
Exercice 4 – On considère surR[X] la forme bilinéaire définie par hP, Qi=
Z +∞
0
P(x)Q(x)e−xdx.
1) Rappeler brièvement pourquoi (P, Q)7→ hP, Qi est un produit scalaire.
2)On note(Pn)n>0la famille de polynômes orthogonaux unitaires associée àh, i.
Calculer P0, P1 etP2.
3) On pose pour tout n >0,
Ln(x) = ex n!
dn
dxn e−xxn . Montrer que pour tout n, Ln est un polynôme de degré n.
Les Ln sont appelés les polynômes de Laguerre.
4) En effectuant des intégrations par parties successives, montrer que sin >1et si Q est de degré< n on a hLn, Qi= 0.
5) En déduire que pour tout n, il existecn∈R∗ tel que Ln=cnPn. Calculer cn. 6) On sait que les Pn vérifient une relation de récurrence d’ordre 2 de la forme
Pn = (X−an)Pn−1−bnPn−2 pour toutn>2.
Déterminer les coefficients an et bn de cette relation.
