Montrer que||q−p|| ≤L(γ)avec ´egalit´e si et seulement γ et [p, q]sont ´equivalents

Coll`ege ST ANNEE UNIVERSITAIRE 2015/2016

Parcours : Licence de Math´ematiques UE : G´eom´etrie Diff´erentielle (N1MA6011)

Date : 18/03/2016 Heure : 8h30 Dur´ee : 1h30 Documents : Non autoris´es. Calculette : autoris´ee Epreuve de Mr : Bessi`eres. Sujet : 1 page

Exercice 1 (Cours). (1) Soit A un arc g´eom´etrique et p∈A. Donner la d´efinition de la bi- r´egularit´e de A, en fonction d’un param´etrage de A, et montrer qu’elle ne d´epend pas du param´etrage.

(2) Montrer qu’une courbe r´eguli`ere f : I→Rⁿ admet une param´etrisation par longueur d’arc.

OU

(3) Soit p, q ∈Rⁿ, on note [p, q] le segment [0,1]∋ t7→ p+t(q−p). Soit γ : [0,1]→Rⁿ une courbe r´eguli`ere lisse joignantp`aq. Montrer que||q−p|| ≤L(γ)avec ´egalit´e si et seulement γ et [p, q]sont ´equivalents.

(4) Donner l’´enonc´e du th´eor`eme de redressement des immersions.

(5) Donner un contre-exemple `a ce que l’image d’une immersion soit une sous-vari´et´e (justifier).

(6) Soit M ⊂Rⁿune sous-vari´et´e de dimensiondetp∈M. Soitg:Rⁿ→R^n−dune submersion telle que M =g⁻¹({0}. Montrer que l’espace tangent T_pM est ´egal `akerd_ag.

Exercice 2. Soit c:s∈R7→(x(s), y(s), z(s))∈R³ la courbe param´etr´ee donn´ee par :





x(s) = ¹₂sin(s) y(s) = (sin(s/2))² z(s) =

√3 2 s.

(1) Montrer que cest une courbe r´eguli`ere param´etr´ee par longueur d’arc.

(2) Pour chaques∈R, calculer la courbure K(s) et la torsionT(s) de la courbe.

(3) Pour chaques∈R, donner explicitement le rep`ere de Frenet (t(s), n(s), b(s)).

Exercice 3. Soita, b, ctrois nombres r´eels strictement positifs. On consid`ere l’ellipsoideΣd’´equation

x² a +y²

b +z² c = 1

(1) Justifier queΣ est sous-vari´et´e de R³.

(2) Soit L le demi-plan ferm´e de R³ d´efini par y = 0 et x ≥0, V l’ouvert R³\L (c’est-`a-dire R<sup>3</sup> priv´e de L), etS = Σ∩V. Donner une param´etrisationf :U→S, o`u U est un ouvert de R².

Exercice 4. Soit f :M_n(R)→R de classeC^∞ d´efinie parf(A) = det(A).

(1) Montrer quef(In+hA) = 1 +htr(A) +o(h). En d´eduire la diff´erentielle def en l’identit´e, dInf(A).

1

(2) SoitM une matrice inversible. D´eduire de la question pr´ec´edente la diff´erentielle def enM, dMf(A).

(3) Montrer queSLn(R) ={M ∈Mn(R),detM = 1}est une sous-vari´et´e deMn(R). Quelle est sa dimension ? Montrer que son espace tangent en I_n est l’ensemble{A∈M_n(R),tr(A) = 0}.

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