Universit´e Lille 1 Master 1 Recherche
Analyse complexe 31 mars 2016
Feuille 7 Produits infinis
Exercice 1. Produits infinis de nombres complexes i) Montrer queQ+∞
n=2
1 +(−1)nn
= 1 et queQ+∞
n=p 1−n12
= p−1p (p≥2) (on pourra calculer le produit de deux termes cons´ecutifs). Ces produits infinis sont-ils absolument convergents ? ii) D´eterminer la nature deQ
n≥1
1 +ni
et de Q
n≥1 1 +ni
. Conclusion ?
Exercice 2. Convergence non absolue i) Montrer queP(−1)√ n
n converge mais que Q
n≥2
1 +(−1)√nn
diverge.
ii) Montrer queQ
n≥1e(−1)n/
√n converge mais queP
1−e(−1)n/
√n
diverge.
iii) On suppose que P|an|2 converge (lesan´etant diff´erents de−1) : montrer que dans ce cas, Q(1 +an) converge si et seulement si P
an converge.
Exercice 3. Produit infini de fonctions
i) Soit fn des fonctions holomorphes non identiquement nulles sur un ouvertD. On suppose que Q
fn converge uniform´ement sur tout compact deD vers la fonction (holomorphe) f : quels sont les z´eros def et leur multiplicit´e, en fonction de ceux desfn?
ii) Prouver que
+∞
Y
n=1
1 +e−nz n2
d´efinit une fonction holomorphe sur {z ∈ C | Rez > 0} et d´eterminer ses z´eros. Cette fonction se prolonge-t-elle holomorphiquement dans un voisinage de 0 ?
Exercice 4. Fonction ζ
On d´efinit la fonctionζde Riemann sur le demi-planH:={s∈C|Res >1}parζ(s) =
+∞
X
n=1
1 ns. i) Justifier que ζ est bien d´efinie et holomorphe surH.
ii) Soit (pn)n≥1 la suite des nombres premiers rang´es par ordre croissant : montrer que le produit infini F(s) =Q+∞
n=1
1−p1s
n
d´efinit une fonction holomorphe surH.
1
iii) Pour N ∈N∗, on pose FN(s) = QN j=1
1− p1s
j
. Montrer par r´ecurrence sur N que l’on a ζ(s)FN(s) =P
k∈AN
1
ks, o`u AN est l’ensemble des entiers qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiersp1, . . . , pN.
iv) En d´eduire que lim
N→+∞ζ(s)FN(s) = 1 (remarquer que si k∈AN,k6= 1, alorsk > pN).
v) Montrer queζ(s)6= 0 et que
1 ζ(s) =
+∞
Y
n=1
1− 1
psn
Exercice 5. Fonction elliptique
i) Montrer que le produit infini h(z) = Q+∞
n=1 1−e2πiz−(2n−1)π
d´efinit une fonction holo- morphe et 1-p´eriodique sur C.
ii) On posef(z) =h(z)h(−z). Quels sont les z´eros de f? iii) Calculer f(z+i) en fonction de f(z).
iv) Soitg(z) = e−πiz f(z)
f(z+2i) : montrer que g est m´eromorphe sur Cet d´eterminer ses pˆoles.
En d´eduire que gest non constante.
v) Montrer queg est elliptique pour le r´eseau 2Z+iZ.
Exercice 6. Produits de Blaschke
i) Soit f holomorphe et born´ee, non identiquement nulle, sur ∆.
(a) Justifier que l’ensemble des z´eros def(r´ep´et´es selon leur multiplicit´e) est d´enombrable ; on les note (an).
(b) On commence par supposer que f a une infinit´e de z´eros et que f(0) 6= 0. Montrer que, pour N ∈Netr > max{|a0|, . . . ,|aN|}, on a
rN+1|f(0)| ≤ kfk∞
N
Y
n=0
|an|
(utiliser l’exercice 3 de la feuille 2), puis que le produit Q|an|est convergent.
(c) En d´eduire que, dans tous les cas, la s´erie P
(1− |an|) est convergente.
ii) R´eciproquement, soit (an)n∈N une suite de points de ∆ telle que P
(1− |an|) converge. On pose, pourz∈∆,bn(z) = −|aan|
n
z−an
1−¯anz sinest tel que an6= 0, etbn(z) =zsinon.
(a) Montrer que, pourntel quean6= 0, on a 1−bn(z) = 1−|a1−¯an|
nz(1 +|aan|
n z) pour toutz∈∆.
(b) En d´eduire que B(z) =Q+∞
n=0bn(z) d´efinit une fonction holomorphe sur ∆.
(c) Montrer queB est born´ee. Quels sont ses z´eros ? iii) Conclure.
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