Montrer que si X vn converge, alors X un converge

Universit´e de Nantes D´epartement de Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 L2 Physique - Module S22P030

TD 2 : S´eries num´eriques Exercice 1.

1. Montrer que toute suite croissante converge si et seulement si elle est major´ee.

2. Montrer qu’une s´erie X

n≥0

u_n `a termes r´eels positifs converge si et seulement si la suite

(Sn)n≥0 des sommes partielles d´efinie pour tout n≥0 par Sn=

n

X

k=0

uk est major´ee.

Exercice 2.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites de r´eels strictement positifs.

1. On suppose que pour n assez grand u_n ≤v_n. Montrer que si X

v_n converge, alors X u_n converge. Montrer que si X

u_n diverge, alors X

v_n diverge.

2. On suppose que lim

n→∞

u_n

v_n = 0 (on ´ecrit alorsun ≺≺n→∞ vn). Montrer que siX

vn converge, alors X

u_n converge. Montrer que si X

u_n diverge, alors X

v_n diverge.

3. On suppose que lim

n→∞

u_n

v_n = 1 (on ´ecrit alors u_n ∼n→∞ v_n). Montrer que les s´eries X v_n et X

u_n ont mˆeme nature. Montrer que si X

u_n et X

v_n convergent, alors

∞

X

k=n

u_n ∼

∞

X

k=n

v_n. Montrer que si X

u_n et X

v_n divergent, on a

n

X

k=0

u_n ∼

n

X

k=0

v_n. 4. On suppose que lim

n→∞

u_n+1

u_n =l. Montrer que X

u_n converge si l < 1 et diverge si l > 1.

Que peut-on dire si l = 1 ? Exercice 3.

Donner la nature des s´eries suivantes :

a)X 1

n²+√

n; b)X (−1)ⁿ

n^3/2+ 7; c)X cos(2n)

n³+ (−1)ⁿ; d)X cos

1 n

; e)X tan

1 n

; f)X ln

1 + 1

n²

; g)X

ln

1 + n²−√ n+ 1 n²+√

n+ 1

; h)X ln

1 + n²−√ n+ 1 n³+ lnn+ 3

; i)X n!

nⁿ ; j)X n²

2ⁿ+n; k)X 1 n¹⁺ⁿ¹. Exercice 4.

Soit (un) la suite r´eelle d´efinie pour n≥2 par u_n= ln

1− 1 n²

. 1. Montrer que X

u_n converge.

2. On note (S_n)_n≥2 la suite des sommes partielles d´efinie pour tout n ≥ 2 par S_n =

n

X

k=2

u_k. Montrer que S_n = ln(n+ 1)−ln(n)−ln(2) et en d´eduire la valeur de X

u_n.

Exercice 5.

Soit f une fonction d´ecroissante de R⁺ dans R⁺. 1. D´efinissons u_n = S_n−I_n o`u S_n =

n

X

n=0

f(k) et o`u I_n = Z n

0

f(x)dx. Montrer que la suite (u_n) converge et montrer que les suites (S_n) et (I_n) sont de mˆeme nature.

2. Montrer que sif est int´egrable sur R⁺ et si lim

n→∞

f(n+ 1)

f(n) = 1 alors

∞

X

k=n

f(k)∼ Z ∞

n

f(x)dx.

3. Montrer que sif n’est pas int´egrable sur R⁺ et si lim

n→∞

f(n+ 1)

f(n) = 1 alors

n

X

k=0

f(k)∼ Z n

0

f(x)dx.

4. Montrer que

n

X

k=1

1

k = ln(n) +γ +ε_n o`u γ est une constante (appel´ee constante d’Euler) v´erifiant γ ∈[0,1] et o`u (εn) est une suite de r´eels qui tend vers 0.

5. Quelle est la nature de S_n =

n

X

k=1

1

k^α pour α∈R? 6. Montrer que si 0< α <1 alors

n

X

k=1

1

k^α ∼n→∞

n^1−α 1−α. 7. Montrer que siα >1 alors

∞

X

k=n

1

k^α ∼n→∞

1 (α−1)n^α−1. Exercice 6.

1. Quelle est la nature des s´eries Xln(n)

n² , X 1

n^1/2ln(n) et X 1 nln(n)? 2. Plus g´en´eralement, montrer que X 1

n^α(ln(n))^β converge pour tout β dans R si α > 1 et diverge pour tout β dans R siα <1.

3. Montrer que X 1

n(ln(n))^β converge si et seulement siβ >1.

Exercice 7.

1. Soit (u_n) une suite r´eelle d´ecroissante qui tend vers 0. Montrer que X

(−1)ⁿu_n est une s´erie convergente : on pourra introduireS_n=

n

X

k=0

(−1)^ku_k et montrer que les suitesS_2n etS_2n+1 sont des suites adjacentes.

2. Donner la nature des s´eries suivantes : a)X(−1)ⁿ

n ; b)X(−1)ⁿ

√n ; c)X

(−1)ⁿsin

(−1)ⁿ n

. Exercice 8.

Soit (vn) une suite de r´eels positifs telle que X

vn diverge. Soit (un) une suite de r´eels tendant vers une limite l. Montrer que

Pn

k=0u_kv_k Pn

k=0v_k

n→∞−→ l.