Exercice CCP 2011
On consid`ere la s´erie de fonctions X
n≥2
2xn n2−1.
1. D´eterminer le rayon de convergence R de cette s´erie enti`ere.
2. On noteS la fonction somme de la s´erieX
n≥2
2xn
n2−1. D´eterminerS sur ]−R, R[.
3. D´emontrer queS(x) admet une limite lorsquextend vers 1 par valeurs strictement inf´erieures et d´eterminer cette limite.
1. Soitx∈R\ {0}. On d´efinit, si n≥2, vn = 2|x|n
n2−1 Alorsvn>0, et
vn+1
vn =|x| n2−1
(n+ 1)2−1 −−−−→
n→+∞ |x|
Par crit`ere de D’Alembert, si |x|<1 alors X
n
vn converge, si|x|<1 alors X
n
vn diverge. Donc R=1
Remarque : il y a beaucoup d’autres mani`eres acceptables de r´ediger cette question, avec des suites qui tendent vers 0 quand x= 1 et qui divergent quand |x|>1, etc. . .
2. On a
∀n ≥2 1
n2−1 = 1
2(n−1)− 1 2(n+ 1) Les deux s´eries enti`eres X
n≥2
xn
n−1 et X
n≥2
xn
n+ 1 ont pour rayon de convergence 1, on a donc
∀x∈]−1,1[ S(x) =
+∞
X
n=2
xn n−1−
+∞
X
n=2
xn n+ 1
1
Mais on sait que ∀x∈]−1,1[
+∞
X
n=1
xn
n =−ln(1−x), donc
∀x∈]−1,1[\{0} S(x) = x
+∞
X
n=2
xn−1 n−1− 1
x
+∞
X
n=2
xn+1 n+ 1
=−xln(1−x)− 1 x
−ln(1−x)− x2 2 −x
et finalement :
S(0) = 0, et si −1< x < 1 et x6= 0, S(x) = 1 + x 2 +
1 x −x
ln(1−x) Si on ne voit pas la d´ecomposition en ´el´ements simples de 1/(n2 − 1), on peut multiplier S(x) par x, puis d´eriver pour simplifier le d´enominateur. On tombe sur une s´erie enti`ere connue, puis on pri- mitive. C’est `a peine plus laborieux.
3. Solution 1 :
CommeX
n≥2
2
n2−1converge, la s´erie de fonctions d´efinissantSconverge uniform´ement car normalement sur le segment [−1,1]. Donc S est continue sur [−1,1], en particulier a une limite `a gauche en 1, cette limite vaut
+∞
X
n=2
2
n2−1 que l’on calcule par t´elescopage (´ecrire les sommes partielles et les simplifier, en utilisant ´evidemment 2
n2−1 = 1
n−1 − 1 n+ 1).
Solution 2 :
Par croissances compar´ees, (1−x) ln(1−x)−−−−−→
x→1,x<1 0. Or si 0< x <1, S(x) = 1+x
2+(1 +x)(1−x)
x ln(1−x) On en d´eduit S(x)−−−−−→
x→1,x<1
3 2
2
