Licence 3 Math´ematiques - ULCO, La Mi-Voix, 2011/2012
Analyse Num´erique
Fiche 9- M´ethodes it´eratives de r´esolution de syst`emes linaires.
Exercice 1 SoitA=
2 1 0 4
−4 −2 3 −7
4 1 −2 8
0 −3 −12 −1
etb=
6
−9 2 2
.
Resoudre par la m´ethode de Gauss le syst`eme lin´eaireAx=b et donner une matriceP de permutation telle que P A=LUo`uLest une matrice triangulaire inferieure avec des “1” sur la diagonale etUest une matrice triangulaire sup´erieure.
Exercice 2 Soit le syst`eme lin´eaire Ax = b o`u A est une matrice carr´ee d’ordre n `a coefficients dans C et b un vecteur deCn. On consid`ere la m´ethode dite de relaxation
{ x(0) donn´e
x(k+1)=M−1N x(k)+M−1b, k≥1 o`u M = 1
ωD−E inversible etN= 1−ω
ω D+F avecω∈R⋆ etA=M −N=D−E−F. 1. Montrer que det(M−1N) = (1−ω)n.
En d´eduire que si la m´ethode de relaxation converge alorsω∈]0; 2[.
Inversement, on suppose queω∈]0; 2[ et qu’en plusAest hermitienne d´efinie positive.
2. Montrer queM⋆+N= 2−ω
ω D et queM⋆+N est une matrice hermitienne d´efinie positive.
3. V´erifier que (u|v) =u⋆Av est un produit scalaire hermitien surCn.
4. Montrer que :∀v∈Cnon a∥v−w∥2=∥v∥2−w⋆(M⋆+N)wo`uw=M−1Avet∥.∥d´esigne la norme associ´ee au produit scalaire (.|.).
5. Montrer que∥M−1N∥<1 et en d´eduire que la m´ethode de relaxation converge.
6. ´Enoncer un th´eor`eme de convergence pour cette m´ethode.
Exercice 3 SoitAla matrice d’ordren:
A=
2 1 0 0 . . . 0 1 2 1 0 . . . 0 0 1 2 1 . . . 0 ... . .. . .. . .. . .. ... ... . .. . .. . .. 1 0 . . . . . . 0 1 2
.
1. Montrer que la matriceAest d´efinie positive.
2. En d´eduire que le syst`eme lin´eaireAx=badmet une solution x⋆ et une seule.
Soitx(k)lek-i`eme vecteur des it´erations de la m´ethode de Gauss-Seidel pour le syst`emeAx=b.
3. ´Ecrire l’algorithme permettant le calcul de x(k+1)en fonction dex(k). 4. On posee(k)=x(k)−x⋆, l’erreur `a l’it´erationk. Montrer que
|x(k+1)i −x⋆i| ≤ (
1− 1 2i
)
∥e(k)∥1 pouri= 1, . . . , n.
5. En d´eduire que la m´ethode de Gauss-Seidel pour le syst`emeAx=bconverge.
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