Une matrice A est dite totalement unimodulaire si toute matrice carr´ee extraite a pour d´eterminant 0, 1 ou −1.

Algorithmique avanc´ee 2018-2019

TD14 : Matrices totalement unimodulaires

Une matrice A est dite totalement unimodulaire si toute matrice carr´ee extraite a pour d´eterminant 0, 1 ou −1.

Question 1 : Que peut-on dire du probl`eme

Minimiser c · x tel que A · x = b ∧ x ≥ 0 avec A ∈ Z ^m×n , b ∈ Z ^m , c ∈ Z ⁿ lorsque A est totalement unimodulaire ?

Dans la suite, on consid`ere une matrice A telle que tout coefficient de A appartient `a 0, 1, −1 et toute colonne a au plus deux coefficients non nuls. I (resp. J) est l’ensemble des indices de lignes (resp. de colonnes) de A.

L’objectif du probl`eme est d’´etablir deux conditions n´ecessaires et suffisantes pour que A soit totalement unimodulaire et de concevoir un algorithme de test d’unimodularit´e totale d’une matrice de complexit´e polynomiale.

Une partition I = I ^′ ⊎ I ^′′ (avec I ^′ ou I ^′′ ´eventuellement vide) est dite admissible si, et seulement si, pour tout couple d’indices de ligne i 1 6= i 2 ∈ I elle v´erifie les deux conditions suivantes :

— Si ∃j ∈ J A[i 1 , j] = A[i 2 , j] 6= 0 alors i 1 ∈ I ^′ ⇔ i 2 ∈ I ^′′

— Si ∃j ∈ J A[i 1 , j] = −A[i 2 , j] 6= 0 alors i 1 ∈ I ^′ ⇔ i 2 ∈ I ^′

Premi` ere partie

Dans cette partie, on suppose qu’il existe une partition admissible {I ^′ , I ^′′ }. On note A 1 une matrice carr´ee extraite de A et I 1 le sous-ensemble d’indices des lignes de A 1 .

Question 2 : On suppose d’abord que toute colonne de A 1 a deux coefficients non nuls. Trouver une combinaison lin´eaire non nulle {λ i } i∈I

des lignes de A ₁ t.q. P

i∈I

λ i A ₁ [i, −] = 0.

Question 3 : Montrer que det(A 1 ) ∈ {0, −1, 1} par r´ecurrence sur la dimension de A 1 . On distinguera le cas o` u il existe une colonne de A 1 avec moins de deux coefficients non nuls et celui o` u toutes les colonnes de A 1 ont deux coefficients non nuls.

On consid`ere un graphe orient´e pond´er´e G = (V, E, c) avec deux sommets distingu´es s et t tels que s n’a pas de pr´ed´ecesseur et t n’a pas de successeur. c est la fonction de poids de E dans N <sup>∗</sup> . On consid`ere le programme lin´eaire suivant, not´e LP , dont les variables positives sont indic´ees par les sommets et les arcs.

Minimiser X

(i,j)∈E

c(i, j)x i,j tel que

∀(i, j) ∈ E x i,j − x i + x j ≥ 0 (1)

x s − x t ≥ 1 (2)

Question 4 : D´emontrer que le probl`eme admet une solution optimale.

Question 5 : D´emontrer qu’il existe une solution optimale qui v´erifie :

∀i ∈ V, x s ≥ x i ≥ x t et ∀(i, j) ∈ E, x i,j = max(x i − x j , 0) Question 6 : D´emontrer qu’il existe une solution optimale qui v´erifie :

∀i ∈ V, 1 = x s ≥ x i ≥ x t = 0 et ∀(i, j) ∈ E, x i,j = max(x i − x j , 0)

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Question 7 : D´emontrer qu’il existe une solution optimale ` a valeurs enti` eres qui v´erifie :

∀i ∈ V, 1 = x s ≥ x i ≥ x t = 0 et ∀(i, j) ∈ E, x i,j = max(x i − x j , 0)

A quel probl`eme de graphe cette solution optimale fournit-elle une r´eponse ? Vous justifierez votre r´eponse.

Question 8 : Calculez le dual de LP . D´emontrer que ce dual est ´equivalent au probl`eme du flot maximal de s vers t dans lequel c est interpr´et´e comme la capacit´e du canal. Que peut-on conclure du th´eor`eme de la dualit´e forte ?

Deuxi` eme partie

On d´efinit les relations binaires (sym´etriques) suivantes entre les indices de lignes de I :

— ⊲⊳ est d´efinie par i ⊲⊳ i ^′ ssi ∃j t.q. A[i, j] = −A[i ^′ , j] 6= 0.

— ⊲⊳ ^∗ est la fermeture reflexive et transitive de ⊲⊳. On note les classes d’´equivalence de ⊲⊳ ^∗ , {I k } 1≤k≤K .

— ∼ est d´efinie par i ∼ i ^′ ssi ∃j t.q. A[i, j] = A[i ^′ , j] 6= 0.

De plus, on d´efinit la relation binaire ≈ entre les classes {I k } 1≤k≤K par I k ≈ I k

ssi ∃i ∈ I k ∃i ^′ ∈ I k

i ∼ i ^′ . Ces relations sont illustr´ees sur la figure ??.

Figure 1 – Deux matrices et les relations ⊲⊳, ∼, ≈ associ´ees

Question 9 : Calculer les d´eterminants des deux matrices de la figure ??.

Question 10 : Soit α une injection de {1, . . . , S } dans {1, . . . , K}. Soient des sous-ensembles de lignes I _α(s) ^′ ≡ {i s,1 , . . . , i s,r

} pour 1 ≤ s ≤ S telles que :

— ∀s ≤ S I _α(s) ^′ ⊆ I α(s)

— ∀s ≤ S ∀1 ≤ m < r s i s,m ⊲⊳ i s,m+1 . On supposera sans perte de g´en´eralit´e (en multipliant

´eventuellement la colonne j s,m par −1) que :

∃j s,m A[i s,m , j s,m ] = 1 ∧ A[i s,m+1 , j s,m ] = −1

— ∀s < S i s,r

∼ i s+1,1 . On supposera sans perte de g´en´eralit´e (en multipliant ´eventuellement la colonne j s,r

par −1) que :

∃j s,r

A[i s,r

, j s,r

] = 1 ∧ A[i s+1,1 , j s,r

] = 1

— i S,r

∼ i _1,1 . On supposera sans perte de g´en´eralit´e (en multipliant ´eventuellement la colonne j S,r

par −1) que :

∃j S,r

A[i S,r

, j S,r

] = 1 ∧ A[i 1,1 , j S,r

] = 1

La matrice carr´ee extraite A ^′ (lignes i s,m et colonnes j s,m ) est repr´esent´ee sur la figure ??. Calculer le d´eterminant de A ^′ en fonction de la parit´e de S.

Question 11 : En d´eduire que s’il existe un cycle ´el´ementaire de longueur impaire dans le graphe de la relation ≈ alors la matrice A n’est pas totalement unimodulaire.

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Figure 2 – Une matrice carr´ee extraite

On dit qu’un graphe non orient´e est biparti s’il existe (au moins) une partition de ses sommets V = V 1 ⊎V 2

(avec V 1 ou V 2 ´eventuellement vide) telle que toute arˆete joint un sommet de V 1 `a un sommet de V 2 . Question 12 : Montrer qu’un graphe est biparti ssi il n’existe pas de cycle ´el´ementaire de longueur impaire. Pour ´etablir la condition suffisante on proposera un algorithme qui construit une partition ou d´etecte l’existence d’un tel cycle. On donnera la complexit´e de cet algorithme.

Question 13 : Supposons que le graphe de la relation ≈ soit biparti et soit V = V 1 ⊎ V 2 une partition associ´ee. On note I ^′ = S

I

∈V

I k et I ^′′ = S

I

∈V

I k . Montrer que I ^′ et I ^′′ constituent une partition admissible.

Question 14 : En vous servant des questions pr´ec´edentes, montrer que les trois propri´et´es suivantes sont

´equivalentes :

— A est totalement unimodulaire.

— I admet une partition admissible.

— Le graphe de la relation ≈ est biparti.

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