Exercice 1. Soit A la matrice de M

(1)

Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Ann´ ee universitaire 2013–2014

Licence 2` eme ann´ ee Informatique

Alg` ebre

Dur´ ee : 3h le mardi 1 juillet Documents et calculatrices autoris´ es

Exercice 1. Soit A la matrice de M

₃

( Q ) donn´ ee par

A =





1 1 0

−1 1 0

1 1 1





1. Calculer A

³

.

2. Calculer det(A), en d´ eduire que A est inversible.

3. D´ eterminer l’inverse de A.

Exercice 2. Mettre sous forme matricielle puis r´ esoudre ` a l’aide du pivot de Gauß le syst` eme



 

 

x − y + z + t = 5 2x + 3y + 4z + 5t = 8 3x + y − z + t = 7

pour (x, y, z, t) ∈ R

⁴

Exercice 3. Soit f l’application d´ efinie par

f : R

⁴

→ R

⁴





 x y z t





 7→







x − y − 2z − 3t 2x − 2y − 3z − 6t

−x + y + z + 3t x + y + z + t







1. Montrer que l’application f est lin´ eaire.

2. Donner la matrice mat

B

(f ) : matrice de f dans la base canonique B de R

³

. 3. D´ eterminer ker(f ).

4. D´ eterminer le rang de f .

5. L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Exercice 4. Soit A la matrice de M

3

( Q ) donn´ ee par

A =





1 1 −1 2 1 −2 3 1 −4





1. D´ eterminer le polynˆ ome caract´ eristique de A.

2. D´ eterminer les valeurs propres de A.

3. Pour chacune des valeurs propres de A, calculer une base de l’espace propre associ´ e.

4. Justifier que la matrice A est diagonalisable.

5. D´ eterminer une matrice P inversible et une matrice D diagonale telles qu’on ait A = P DP

⁻¹

.

6. Calculer A

ⁿ

pour tout n ∈ N .

(2)

Exercice 5. Parmi les ensembles suivants d´ eterminer ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de R

³

. Justifier.

1. A = {(x, y, z) ∈ R

³

| x − 2y + z = 0}.

2. B = {(x, y, z) ∈ R

³

| x + y + zx = 0}.

3. C = {(x, y, z) ∈ R

³

| x − y = 0 et x + y + 4z = 0}.

Exercice 6. On munit R

³

du produit scalaire usuel et on note C la base canonique. On pose

u

₁

=



 1 0

−1



 , u

₂

=



 1 1 1



 et u

₃

=



 1 2 1





1. Montrer que la famille (u

₁

, u

₂

, u

₃

) est une base de R

³

.

2. Appliquer la m´ ethode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt ` a la base (u

1

, u

2

, u

3

) pour obtenir une base B = (w

1

, w

2

, w

3

) orthonormalis´ ee.

On note P = P

C,B

la matrice de passage de la base B ` a la base C.

3. V´ erifier que la matrice P est orthogonale et calculer son d´ eterminant.

4. D´ eterminer si la base B est directe ou indirecte.

Exercice 7. Soit A une matrice orthogonale de M

_n

( R ), c’est-` a-dire, v´ erifiant

^t

A × A = I

_n

. 1. Montrer que le d´ eterminant de A est soit 1 soit −1. (utiliser des propri´ et´ es du d´ eterminant) 2. En d´ eduire que A est inversible, d’inverse

^t

A. Exercice 8. On munit R

³

du produit scalaire usuel et on note C la base canonique de R

³

. Soit F le sous-espace vectoriel de R

³

donn´ e par

F =









 x y z



 ∈ R

³

| x + 2y − z = 0





 .

1. Donner une base de F et une base de F

^⊥

.

2. D´ eterminer une base orthonorm´ ee B = (w

₁

, w

₂

, w

₃

) de R

³

telle que (w

₁

, w

₂

) soit une base de F et (w

₃

) soit une base de F

^⊥

.

On note p la projection orthogonale sur F et s la sym´ etrie orthogonale par rapport ` a F.

3. Pour tout u de R

³

exprimer p(u) et s(u) en fonction de u et de w

₃

.

4. D´ eterminer les matrices repr´ esentatives de p et de s relativement ` a la base B.

5. D´ eterminer les matrices repr´ esentatives de p et de s relativement ` a la base C.

2