ECE2 TD n ◦ 6 : R´ eduction des endomorphismes
Exercice 1. Diagonalisation d’un endomorphisme de R3 (Edhec 2010) On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deR3.
On consid`ere l’endomorphismef deR3d´efini par les ´egalit´es suivantes : f(e1) =1
3(e2+e3) et f(e2) =f(e3) =2 3e1 1. ´Ecrire la matriceM def dansB.
2. D´eterminer la dimension de Imf puis celle de Kerf.
3. Donner alors une base de Kerf, puis en d´eduire une valeur propre def ainsi que le sous-espace propre associ´e.
4. D´eterminer les autres valeurs propres def, ainsi que les sous-espaces propres associ´es.
5. En d´eduire quef est diagonalisable.
6. On poseP=
2 −2 0
1 1 1
1 1 −1
.
Justifier sans calcul queP est inversible, puis d´eterminer la matriceDdiagonale telle queM =P DP−1. Exercice 2. Quelques r´esultats th´eoriques simples
Soitf un endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension finie et λune valeur propre def. On noteEλ(f) le sous-espace propre def associ´e `a la valeur propreλ.
1. Montrer queEλ(f) est stable parf, c’est-`a-dire que : ∀u∈Eλ(f), f(u)∈Eλ(f) 2. Montrer que siλ6= 0, alorsEλ(f)⊂Im(f).
3. Siλ0 est une valeur propre de f diff´erente deλ, que dire de l’intersectionEλ(f)∩Eλ0(f) ? Exercice 3. Diagonalisation de aM+bIn, detM de Mp et deM−1
SoitM une matrice carr´ee d’ordrendiagonalisable.
1. Soientaet bdeux r´eels. Montrer queaM +bIn est diagonalisable.
2. Montrer quetM est diagonalisable.
3. Montrer queMp est diagonalisable.
4. SiM est inversible, montrer queM−1 est diagonalisable.
Exercice 4. Diagonalisation sous contrainte On consid`ere les matricesA=
1 1 1
0 0 −1
−2 −2 −1
et D=
0 0 0
0 −1 0
0 0 1
.
1. D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deA.
2. En d´eduire une matrice carr´eeP d’ordre trois, inversible, de deuxi`eme ligne (−1 1 1), telle queA=P DP−1. 3. On munitR2[X] de sa base canoniqueB= (e0, e1, e2) et on consid`ere l’endomorphismef deR2[X] dont la matrice
dansBest A. D´eterminer les ´el´ements propres def.
Exercice 5. Diagonalisation sous contrainte (d’apr`es EM Lyon 2011) On consid`ere la matriceA=
1 0 2
3/2 −2 6
1/2 −1 5/2
1. (a) Montrer que 0, 1/2 et 1 sont les valeurs propres deAet pr´eciser les sous-espaces propres qui leur sont associ´es.
(b) Montrer qu’il existe une matrice inversible P de M3(R), dont les coefficients de la premi`ere ligne sont tous
´
egaux `a 4, et une matrice diagonale D de M3(R) dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre croissant, telles que A=P DP−1.
(c) CalculerP−1.
2. (a) Montrer qu’il existe une matrice diagonale ∆ de M3(R), dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre croissant, telle que ∆2=D, et d´eterminer ∆.
(b) On noteR=P∆P−1. Montrer queR2=Aet calculer R.
3. On munitR3 de sa base canoniqueB= (e1, e2, e3) et on consid`ere l’endomorphismef deR3dont la matrice dans la baseBest A. On noteC= (u1, u2, u3) la base deR3 telle queP est la matrice de passage deB `aC.
(a) D´eterminer la matrice def dans la baseC.
(b) D´eterminer une base et la dimension de Im(f).
(c) D´eterminer une base et la dimension de Ker(f).
Exercice 6. Polynˆome annulateur
Soienta,bet ctrois r´eels tous non nuls, etM la matrice carr´ee d’ordre 3 suivante :
M =
1 a/b a/c b/a 1 b/c c/a c/b 1
1. Montrer queM2−3M = 0 et en d´eduire que l’ensemble des valeurs propres deM est inclus dans{0,3}.
2. D´eterminer les valeurs propres deM et, pour chaque valeur propre, une base du sous-espace propre associ´e.
La matriceM est-elle diagonalisable ? Exercice 7. Matrices nilpotentes
SoitM une matrice carr´ee d’ordrentelle qu’il existe un entier naturelp>2 tel que : Mp−16= 0n et Mp= 0n
o`u 0n repr´esente la matrice carr´ee nulle d’ordren.
1. Montrer queM admet exactement une valeur propre.
2. M est-elle diagonalisable ?
Exercice 8. Suites r´ecurrentes intriqu´ees
On consid`ere les suites (un) et (vn) d´efinies par leurs premiers termes u0 = 1 et v0 = 1 et par les relations de r´ecurrence :
∀n∈N,
un+1 = 3un+ 2vn
vn+1=un+ 2vn
Pour toutn∈N, on note Xn= un
vn
.
1. Montrer qu’il existe une matriceA∈ M2(R) telle que : ∀n∈N, Xn+1=AXn
2. Montrer qu’il existe une matrice diagonaleDdont les ´el´ements diagonaux sont dans l’ordre croissant et une matrice inversibleP dont les ´el´ements diagonaux sont tous ´egaux `a 1 telles queA=P DP−1.
3. En d´eduire l’expression deun etvn en fonction den, pour toutn∈N. Exercice 9. Diagonalisation simultan´ee de matrices qui commutent
Soitnun entier naturel strictement positif et soitA la matrice deM3(R) d´efinie par :
A=
−4 −6 0
6 7 2
0 2 −2
Cet exercice a pour but de d´eterminer toutes les matricesX deM3(R) v´erifiant l’´equation : Xn=An (?)
1. (a) Montrer que−1, 0 et 2 sont les valeurs propres deAet pr´eciser les sous-espaces propres qui leur sont associ´es.
(b) Montrer qu’il existe une matrice inversible P de M3(R), dont les coefficients diagonaux sont tous ´egaux `a 2, et une matrice diagonaleD deM3(R) dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre d´ecroissant, telles que A=P DP−1 .
(c) Montrer queAn est diagonalisable. Pr´eciser les valeurs propres et les sous-espaces propres deAn. 2. (a) Montrer que si l’´equation (?) admet une solutionX, alorsXAn=AnX.
(b) Montrer alors que tout vecteur propre deAn est aussi vecteur propre deX. On pourra observer que les sous-espaces propres de An sont de dimension 1.
(c) En d´eduire que la matrice P−1XP est diagonale.
3. (a) Sinest un nombre impair, d´eterminer toutes les solutions de (?).
(b) Sinest un nombre pair, d´eterminer toutes les solutions de (?).
