MT241 Examen du 28 janvier 2003 dur´ee : 3 heures Le poly est le seul document autoris´e. Les calculatrices sont interdites.
Exercice I.
1. Soitsun param`etre r´eel>−1 ; d´emontrer la convergence absolue de la s´erie num´erique X ³ 1
n+s −ln(1 + 1/n)
´
n≥1.
2. Pour chaque entiern≥1 on d´efinit une fonctionun sur l’intervalle ]−1,+∞[ en posant
∀x > −1, un(x) = 1
n+x −ln(1 + 1/n), et on d´efinit f sur ]−1,+∞[ en posant f(x) =P+∞
n=1 un(x) pour tout x >−1. Montrer que pour tout a >−1, la fonction f est d´erivable sur l’intervalle ]a,+∞[.
3. On fixe un nombre b >0. V´erifier l’encadrement un(0)−un(b)≥un(x)−un(b) ≥0, pour tout x ∈ [0, b] et tout entier n ≥ 1. En d´eduire que la s´erie de fonctions P
un() converge normalement sur l’intervalle [0, b].
4. On d´efinit une fonction F sur [0,+∞[ en posant F(x) = Rx
0 f(t)dt pour tout x ≥ 0.
Exprimer F sous la forme de la somme d’une s´erie de fonctions.
On pose pour toutn≥1 et tout x r´eel
gn(x) = (n+ 1)−x (x+ 1)(x+ 2). . .(x+n)
n! .
Montrer que g(x) = limn→∞gn(x) existe pour tout x ≥ 0, en comparant lngn(x) `a des sommes partielles de la s´erie qui d´efinit F(x).
Exercice II.
On d´esigne par mun param`etre r´eel et on consid`ere la matrice A =
−1 1 −1
−1 m−1 −m−1
−1 −1 −1
.
On d´esigne par a l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A.
1. Montrer que m est valeur propre de a et d´eterminer, en fonction de m, une base du sous-espace propre de a correspondant `a la valeur propre m.
2. Trouver toutes les valeurs propres de a. D´eterminer les valeurs de m pour lesquelles l’endomorphisme a est diagonalisable.
3. Dans cette question on suppose que m = −1. Trouver un polynˆome Q ∈ R[X], de degr´e 1 et tel que (X + 1)2+ (X + 2)Q = 1. Montrer que la matrice B = −A(A + 2I3) v´erifie les ´equations
(A + I3)2B = 0, (A + 2I3) (I3−B) = 0.
4. Dans cette question on suppose encore que m = −1. D´eterminer la solution Y du syst`eme diff´erentiel Y0(t) = AY(t) qui v´erifie la condition initiale Y(0) = (1,−1,1).
