L2 Parcours sp´ecial 2013-2014 Universit´e Paul Sabatier Approfondissement math´ematiques
Interrogation ´ecrite du 19 mars 2014-Dur´ee 30 minutes On consid`ere la matrice
A:=
−2 1 −3
4 −3 8
−1 −1 0
.
1. Montrer que −3 est une valeur propre deA. Donner un vecteur propre associ´e.
2. Que valent la trace et le d´eterminant de A. En d´eduire le polynˆome caract´eristique de A. Donner la seconde valeur propre de A ainsi qu’un vecteur propre associ´e.
3. D´eterminer la r´eduite de Jordan de A. En d´eduire des matrices 3×3, D,N etP, o`u D est une matrice diagonale,N est une matrice nilpotente et P est une matrice inversible telles queA =P−1(D+N)P.
4. Calculer, pour tout t deR la matrice exp(tA).
5. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel
X0(t) =AX(t)
X(0) =
1 1 1
