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Academic year: 2022

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(1)

ECS2 Note /10

Interrogation de cours 9 du Mardi 23 Novembre 2021

Nom et prénom :

1. ( / 1,5 points ) Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E . Donner la définition :

• d’une valeur propre λ de f :

• d’un vecteur propre associé à la valeur propre λ :

• de l’espace propre associé à une valeur propre λ de f :

2. ( / 2 points ) Soit A ∈ M

n

( K ) . Compléter

λ ∈ Sp(A) ⇔

⇔

⇔ Dans ce cas, on a alors dim(E

λ

(A)) =

3. ( / 3,5 points ) Soit A ∈ M

n

( K ) .

• Si A est triangulaire, que dire des valeurs propres de A ?

• Si P est un polynôme annuateur de A , que dire des valeurs propres de A ?

• Que peut-on dire de X

λ∈Sp(A)

E

λ

(A) ?

• Que peut-on dire de X

λ∈Sp(A)

dim(E

λ

(A)) ?

(2)

• Si A admet n valeurs propres distinctes, que peut-on dire des sous-espaces propres de A ?

• Que peut-on dire si 0 ∈ Sp(A) ?

• Si A ∈ M

2

( K ) , comment obtenir les valeurs propres de A ?

4. ( / 4 points ) Déterminer le spectre de M =

2 1 1 1 2 1 1 1 2

 .

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