Exercices en temps libre : Semaine 1 Obligatoire : rédiger l’exercice MPSI et au moins un autre exercice au choix.
Exercice MPSI :
Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E. On dit que λ∈ Kest une valeur propre de f si et seulement s’il existeu∈E tel que u6= 0 etf(u) =λu.
On appelle spectre def l’ensemble de ses valeurs propres.
On noteE=Rn[X]etf :P 7→f(P) =X(P(X)−P(X−1)).
1. Vérifier quef est un endomorphisme deE.
2. Former la matriceAdef dans la base canoniqueβ = (1, X, X2,· · · , Xn)deE.
3. Déterminer noyau, rang et image def. 4. Déterminer le spectre def.
Exercice 1 :
Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé de N pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces. Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment ; le cuisinier reçoit alors 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seul le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés.
Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit 5 pièces. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décide d’empoisonner le reste des pirates ?
Exercice 2 :
On noteAl’ensemble des suites réelles bornées etI l’ensemble des suites réelles convergeant vers 0.
1. Vérifier queAest un anneau pour les lois usuelles et que Iest un idéal deA.
2. Existe-t-ila∈Atel queI=aA?
3. L’idéalI est-il premier, c’est à dire tel que∀(u, v)∈A2,(u×v∈I⇒(u∈I ouv∈I))?
4. Existe-t-il un idéal strictement inclus entreIetA, c’est à dire un idéalJ deAtel queI⊂J⊂Atel que I6=J et J6=A?
5. Déterminer le radical√
IdeI défini par√
I={u∈A:∃p∈N∗, up∈I}.
1
CORRECTIONS : Exercice MPSI :
1. On montre comme en classe queP(X)−P(X−1)est de degré inférieur ou égal àn−1. Doncf(P)est un polynôme de degré inférieur ou égal àn. La linéarité n’est pas difficile à vérifier.
2. f(Xj) =X(−Pj−1 i=0
j i
(−1)j−1Xi) =Pj−1 i=0
j i
(−1)j−i−1Xi+1=Pj k=1
j k−1
(−1)j−kXk.
La matrice def dans la base canonique est triangulaire supérieure. Ses coefficients sur la diagonales sont 0,1, . . . , net le coefficientak,j = k−j1
(−1)j−k.
3. On cherchePtel quef(P) = 0, c’est à direP(X)−P(X−1) = 0par intégrité de l’anneau des polynômes.
DoncP est 1-périodique, donc constant. Ainsi, Ker(f) =V ect(1).
Le théorème du rang assure querg(f) = (n+ 1)−1 =n.
On a vu queIm(f)⊂XRn−1[X]qui est un ss espace vectoriel deRn[X]de dimensionn. DoncIm(f) = XRn−1[X] =V ect(X, X2, . . . , Xn).
4. On chercheλ ∈Rtel qu’il existe P NON NUL tel que f(P) =λP. Les 5/2 savent qu’on peut lire les valeurs propres d’une triangulaire supérieure sur la diagonale (ça sert de connaitre son cours !).
On doit s’attendre à obtenirλ∈ {0,1, . . . , n} (au passage,f est diagonalisable car admetn+ 1 valeurs propres réelles distinctes.)
On peut prendre une petite valeur denet comprendre ce qu’il se passe. Pourn= 3par exemple, on obtient en posantP =a+bX+cX2+dX3, l’égalité :X(a+bX+cX2+dX3−a−b(X−1)−c(X−1)2−d(X−1)3) = (b−c+d)X + (2c−3d)X2+ 3dX3 = λ(a+bX+cX2+dX3), c’est à dire, après simplifications, le système :
λa = 0
b(λ−1) +c −d = 0 c(λ−2) +3d = 0 d(λ−3) = 0
L’existence d’une solution non nulle est équivalente à celle d’un vecteur propre. Les valeurs propres sont donc les valeursλtelle que le système ne soit pas inversible (de Cramer). Étant triangulaire supérieur, ce sont donc les valeurs0,1,2 et3... On retrouve donc ce qui est attendu.
Il ne reste plus qu’à généraliser (sans trop de difficulté).
Exercice 1 :
Soitnle nombre de pièces du trésor. On traduit les hypothèses en écrivant quen≡3[17],n≡4[11]et n≡5[6].
C’est donc un système de 3 équations à congruence. On remarque que17,11 et 6 sont deux à deux premiers entre eux.
En particulier,2·17−3·11 = 1.
— Donc −33≡1[17]et(−3)·11 =−99≡3[17].
— Donc 34≡1[11]et 4·34 = 136≡4[11].
Donc,n0=−99 + 136 = 37vérifie à la foisn0≡3[17]et n0≡4[11].
O peut donc par théorème chinois réduire le système
n≡3[17]
n≡4[11] à l’équationn≡37[11×17]≡37[187].
On cherche doncntel quex≡37[187]et n≡5[6].
En remarquant que1·187−31·6 = 1et par le procédé précédent, on obtient les solutions du système initial sous la formen≡785[1122].
Donc la fortune minimale du trésor est de 785 pièces...
Exercice 2 :
1. la suite constante égale à 1 est bornée donc dansA. Pour toutes suites(u, v)bornées,u−v est bornée etuv est bornée.
La suite nulle converge vers 0 donc0∈I. Si(u, v)∈I2,u−v∈Ipar théorème opératoire sur les limites de suites convergentes vers 0. Siaest une suite bornée et siuconverge vers 0, le produit converge vers 0 par théorème des gendarmes en prenant la valeur absolue et en majorant|a|par une borne réelle.
I est donc un idéal deA.
2. L’idéalI n’est pas principal.
Supposons par l’absurde qu’il existeatel queI=aA. Alorsu1= ( 1
n+ 1)N∗ est un élément deAdonc il existea1∈Atelle queu1=a1·a.
Ainsi, nécessairement,ane s’annule jamais caru1ne s’annule jamais. Remarquons quea∈I⇒√ a∈I.
Il existe donc une suitea2∈Atelle que√
a=a2·a. Or nécessairement,a2= 1
√a qui n’est pas bornée donc ne peut pas appartenir àA. Contradiction et résultat.
2
3. Attention :Dans l’énoncé, il faut lire∀(u, v)∈A2. Bizarre que personne ne m’ait posé la question...
Soitu telle que un =n[2] et v telle que vn = (n+ 1)[2]. Alors u×v = 0∈ I. Pourtant ni u ni v ne converge vers 0. DoncI n’est pas premier.
4. SoitJ l’ensemble des suites réellesutelles que(u2n)soit bornée et que (u2n+1)converge vers 0.
Vérifier queI⊂J ⊂Aet queJ est un idéal.
5. SoitadansAet p∈N∗. Alors
ap∈I⇔apn→0⇔an→0⇔a∈I.
Donc√ I=I.
3
