EVALUATION FORMATIVE N°1

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Classe de

Tle C EVALUATION FORMATIVE N°1

Exercice 1 5.5pts

1. Montrer que ∀𝑛 ≥ 2, 𝑛! ≤ (^𝑛+1

2 )^𝑛 . 1pt 2. Montrer par récurrence sur 𝑛 que∀𝑛 ≥ 2 on a :

[𝑥 > −1, 𝑥 ≠ 0] ⇒ [(1 + 𝑥)^𝑛 > 1 + 𝑛𝑥]. 0.75pt

3. a- Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ, (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) … (2𝑛 − 1) × 2𝑛 est divisible par 2^𝑛. 0.75pt

b- Trouver le quotient correspondant. 0.5pt 4. Montrer par récurrence que ∀𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑘 ≥ 1 on a :

2²^𝑛+𝑘 − 1 = ( 2²^𝑛 − 1) × ∏^𝑘−1_𝑖=0 (2²^𝑛+𝑖 + 1). 0.75pt 5. On note 𝑀_𝑛 = 2^𝑛− 1.

a- Montrer que (𝑀_𝑛 est premier) ⇒ (𝑛 est premier). 0.75pt b- Vérifier que 𝑀₁₁ n’est pas premier. 0.5pt 6. a- Montrer par récurrence que ,∀𝑛 ∈ ℕ^∗∑ ¹

𝑘(𝑘+1) = ^𝑛

𝑛+1

𝑛𝑘=1 . 0.5pt b- En déduire la somme : 𝑆_𝑛 = ∑^𝑛_𝑘=1√1 +_𝑘²¹ +_(𝑘+1)¹ ₂ . 0.5pt

Exercice 2 4.5pts La suite (𝑎_𝑛) est définie par :{𝑎₁ = 1

𝑎_𝑛+1 = (¹

𝑛+ ¹

𝑛²) 𝑎_𝑛,∀𝑛 ∈ ℕ^∗.

1. a- Calculer 𝑎₂ et 𝑎₃. 1pt b- Démontrer par récurrence que ,∀𝑛 ∈ ℕ^∗𝑎_𝑛 =_(𝑛+1)!^𝑛 . 0.75pt 2. Etudier le sens de variation de la suite (𝑎_𝑛). 0.5pt 3. Calculer la limite de la suite (𝑎_𝑛).0.5pt

4. On considère la suite (𝑈_𝑛)_𝑛∈ℕ définie par {𝑈₀ = 2 𝑈_𝑛+1 = √𝑈_𝑛.

a- Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑈_𝑛 > 1. 0.5pt b- Montrer que 𝑎 ∈ ]1, +∞[, on a ¹

√𝑎+1 ≤¹

2. 0.5pt c- En déduire que ∀𝑛 ∈ ℕ, on a 𝑈_𝑛+1− 1 ≤ ¹₂(𝑈_𝑛− 1). 0.5pt d- Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ, on a 𝑈_𝑛 − 1 ≤ (¹

2)^𝑛. 0.5pt e- En déduire la limite de (𝑈_𝑛). 0.25pt

LYCEE D’OKOLA

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

ANNEE SCOLAIRE 2020/2021

Prof. Patrice OLINGA

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Exercice 3 5.5pts

Dans le système de numération de base 𝑎, on considère les nombres 𝐴 = 211̅̅̅̅̅, 𝐵 = 312̅̅̅̅̅ et 𝐶 = 133032̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅. On donne 𝐶 = 𝐴 × 𝐵.

1. a- Montrer que : 𝑎³− 3𝑎² − 2𝑎 − 8 = 0. 1pt

b- En déduire que 𝑎 divise 8. 0.5pt

c- Déterminer 𝑎. 0.5pt 2. On suppose que 𝑎 = 4.

a- Ecrire 𝐴, 𝐵 et 𝐶 dans le système décimal. 0.75pt

b- Montrer que : 𝑃𝑃𝐶𝑀(𝐴, 𝐵) = 𝐶.0. 25pt c- En déduire que l’équation : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 1 admet des solutions dans ℤ². 0.5pt

3. On considère dans ℤ² l’équation (𝐸): 37𝑥 + 54𝑦 = 2.

a- Déterminer la solution particulière de (𝐸) en utilisant l’algorithme d’Euclide. 1pt

b- Résoudre (𝐸). 1pt Exercice 4 4.5pts

1. Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé de 𝑁 pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se le partager équitablement et de donner le reste au cuisinier (non pirate).

Celui-ci reçoit 3 pièces. Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les sur vivants comme au précédemment ; le cuisinier reçoit alors 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit 5 pièces. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décide d’empoisonner le reste des pirates ? 2pts 2. Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons ? 1pt 3. En multipliant ton jour de naissance par 12 et ton mois de naissance par 31, tu obtiens

442. Détermines mon jour et mon mois de naissance ? 1.5pt