Sujet TD : Fibonacci, matrice, diagonalisation

Sujet TD : Fibonacci, matrice, diagonalisation

Dominique Michelucci, Universit´ e de Dijon

La suite de Fibonacci est d´efinie par :

F0= 0, F1= 1, n >1⇒Fn=Fn−2+Fn−1

On en d´eduit :

(Fn, Fn−1) = (Fn−1, Fn−2)M avec :M =

1 1 1 0

= (F(n−2), F(n−3))M²

= . . .

= (F1, F0)Mⁿ⁻¹= (1,0)Mⁿ⁻¹

La m´ethode d’exponentiation rapide est utilis´ee pour calculer Mⁿ⁻¹ en O(log2n) produits de matrices carr´ees 2×2.

On peut remarquer queM est diagonalisable : Ses valeurs propres sont racines de

|M −λI²,2|=

1−λ 1

1 −λ

=λ²−λ−1 = (λ−φ)(λ−φ^′) = 0 o`u :

φ=1 +√ 5

2 = 1.618..., φ^′= 1 +√ 5

2 =−0.618...

Ses vecteurs propres sont tels que (a, b)M = (a+b, a) =λ×(a, b). Donc (φ,1), et (φ^′,1) sont deux vecteurs propres deM, associ´es `aφet φ^′ :

φ 1 φ^′ 1

1 1 1 0

=

φ+ 1 φ φ^′+ 1 φ^′

=

φ² φ φ^′2 φ^′

=

φ 0 0 φ^′

φ 1 φ^′ 1

1

L’inverse deR=

φ 1 φ^′ 1

estR⁻¹=_φ¹

−φ^′ ×

1 −1

−φ^′ φ

. Orφ−φ^′=

√5.

De RM = diag(φ, φ^′)R, on d´eduit : M = R⁻¹diag(φ, φ^′)R. Notons D = diag(φ, φ^′).

DoncM^k= (R⁻¹DR)^k =. . .=R⁻¹D^kR. Deux cons´equences :

1. Ceci justifie queFk =aφ^k+bφ^′k, pour certaines constantes aet b, que l’on peut calculer en consid´erantF⁰=aφ⁰+bφ^′0 et F¹=aφ¹+bφ^′1. V´erifier : a= ^√5⁵, etb=−a.

2. Il existe donc une m´ethode plus rapide (du moins pour des matrices plus grandes que M!) pour calculer M^k : quand M est diagonalisable, soit D la matrice diagonale des valeurs propres, soit R la (en fait, une) matrice des vecteurs propres ; commeM =R⁻¹DR, pour calculer M^k =R⁻¹D^kR. Si D= diag(λ1, . . . λn), alorsD^k = diag(λ^k1, . . . λ^k_n), enO(n) au lieu deO(n³). Le calcul de D etR (par la m´ethode QR) et deR⁻¹ est enO(n³). On passe donc deO(n³logk) `aO(n³) (kest l’exposant etn×nla taille de la matrice).

Ceci se g´en´eralise `a des suites plus compliqu´ees, par exemple le nombre de noeuds de l’arbre de Fibonacci (cet arbre est l’arbre des appels r´ecursifs dans le calcul r´ecursif na¨ıf deFk) :T0 a comme racine 0 et n’a pas de fils,T1 a comme racine 1 et n’a pas de fils, et pour k >1,Tk a comme racine ket a deux fils : Tk−2 et Tk−1. Le nombre de noeuds de Tk et tk et v´erifie : t⁰ = 1, t¹ = 1, et pourk >1,tk =tk−2+tk−1+ 1. Trouvez l’´equivalent de la matriceM (elle est 3 par 3), ses valeurs propres (ce sont 1, φ et φ^′). En d´eduire qu’il existe trois constantes a, b, c telles que tk =aφ^k+bφ^′k +c1^k; calculez les en consid´erant k= 0,1,2. Ensuite prouvez que la formule est exacte par r´ecurrence.

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