3.3 Relation de r´ ecurrence de Pekeris

Chapitre 3

Milieux tabulaires

Si le sous-sol ´etait homog`ene, il n’y aurait pas de g´eophysique (voire de g´eosciences). Nous devons donc introduire un certain degr´e d’h´et´erog´en´eit´e dans le sous-sol si l’on souhaite aborder des situations r´ealistes. Une premi`ere approche consiste `a se repr´esenter la terre comme ´etant constitu´e de couches horizontales, chacune ayant son ´epaisseur et sa r´esistivit´e propres.

3.1 Solution du potentiel

En l’absence de source ´electrique et en milieu homog`ene, on sait que

∇ ·J~=σ∇ ·E~ = 0 (3.1)

σ ´etant non-nul, il en d´ecoule que

∇ ·E~ = 0 mais commeE~ =−∇V, on retrouve

∇ ·(−∇V) = 0 soit

∆V = 0 (3.2)

i.e. l’´equation de Laplace. Imaginons maintenant qu’on injecte du courant via une

´electrode. Si la r´esistivit´e du sous-sol ne varie que selon z, on con¸coit ais´ement que le potentiel ´electrique aura une sym´etrie cylindrique par rapport `a la verticale de l’´electrode.

Nous allons donc exprimer l’´equation de Laplace en coordonn´ees cylindriques, soit

∂²V

∂r² + 1 r

∂V

∂r + ∂²V

∂z² + 1 r²

∂²V

∂θ² = 0 (3.3)

Evidemment, la sym´etrie cylindrique exclut toute d´ependance de V enθ, d’o`u

∂²V

∂r² + 1 r

∂V

∂r + ∂²V

∂z² = 0 (3.4)

Nous allons r´esoudre cette ´equation diff´erentielle par la bonne vieille m´ethode de s´eparation des variables,

V(r, z) = U(r)W(z). (3.5)

Substituons (3.5) dans (3.4) W∂²U

∂r² + W r

∂U

∂r +U∂²W

∂z² = 0 et divisons le tout par UW, on retrouve

1 U

∂²U

∂r² + 1 Ur

∂U

∂r + 1 W

∂²W

∂z² = 0 (3.6)

Cette ´equation sera r´esolue si 1 U

∂²U

∂r² + 1 Ur

∂U

∂r =−λ² (3.7)

et

1 W

∂²W

∂z² =λ² (3.8)

avecλ une constante arbitraire. Les solutions de (3.8) sont archi-connues

W(z) = C₁e^−λz +C₂e^λz (3.9)

o`uC₁ etC₂ sont des constantes arbitraires. De mˆeme pour (3.7)

U(r) = C0J0(λr) (3.10)

J₀ est la fonction de Bessel d’ordre 0. En multipliant les soulutions pour W et U, i.e.

(3.9) et (3.10), on retrouve notre fonction de potentiel V

V(r, z) = U(r)W(z) =C₀^hC₁e^−λz +C₂e^λziJ₀(λr) (3.11) On rappelle queλet les Ci sont des constantes arbitraires. (3.11) est solution de (3.6), mais toute combinaison lin´eaire de solutions sera aussi solution. Si on fait varier λ de 0 `a l’infini et en rendant les C_i fonctions de λ, on obtiendra une solution g´en´erale pour (3.6)

V(r, z) =

Z _∞

0

hΦ(λ)e^−λz + Ψ(λ)e^λziJ₀(λr)dλ (3.12)

o`u Φ(λ) = C<sub>0</sub>(λ)C<sub>1</sub>(λ) et Ψ(λ) = C<sub>0</sub>(λ)C<sub>2</sub>(λ). Ces deux fonctions seront d´etermin´ees par la nature du probl`eme et ses conditions aux limites. (3.12) a le m´erite d’ˆetre compl`etement g´en´erale et applicable `a n’importe lequel probl`eme, en autant que la condition de sym´etrie cylindrique par rapport `a la verticale de la source de courant soit respect´ee.

Nous allons bricoler (3.12) encore un peu en y faisant apparaˆıtre le potentiel g´en´er´e par une source de courant (I) ponctuelle sur un demi-espace homog`ene (1.3) de r´esistivit´e ρ₁ en coordonn´ees cylindriques

V_h(r, z) = ρ1I 2π√

r²+z². (3.13)

On peut mettre (3.13) sous la mˆeme forme que (3.12) en faisant appel `a l’int´egrale de Lipschitz, `a savoir

Z _∞

0 e^−λzJ₀(λr)dλ = 1

√r² +z² d’o`u

Vh(r, z) = ρ1I 2π

Z _∞

0 e^−λzJ0(λr)dλ (3.14)

On peut alors r´e´ecrire (3.12) sous la forme V(r, z) = ρ1I

2π

Z _∞

0

he^−λz+ Θ(λ)e^−λz +X(λ)e^λziJ₀(λr)dλ (3.15) Ici encore, Θ(λ) et X(λ) sont des fonctions arbitraires. Cette solution est valide pour toutes les couches du sous-sol. Ceci dit, Θ et X ne sont pas n´ecessairement les mˆemes pour toutes les couches. Si on a un dispositif de mesure `a la surface d’un milieu tabulaire, alors on aura un jeu de fonctions par couche et donc une solution par couche i, i.e.

V_i(r, z) = ρ1I 2π

Z _∞

0

he^−λz+ Θ_i(λ)e^−λz+X_i(λ)e^λziJ₀(λr)dλ (3.16) Nous devrons ensuite appliquer les conditions aux limites pour r´esoudre ce probl`eme.

Elles sont similaires `a celles discut´ees dans le Chapitre 5 de la partie EM.

3.2 Conditions-limites

De part et d’autre d’une interface s´eparant deux couches de r´esistivit´es diff´erentes `a une profondeur z =z_i,

i. le potentiel ´electrique V est continu

V_i(z =z_i) = V_i+1(z =z_i) (3.17)

ii. la composante verticale de la densit´e de courant J_z est continue Jzi(z =zi) =Jzi+1(z =zi)

−1 ρ_i

"

∂V

∂z

#

z=zi

=− 1 ρ_i+1

"

∂V

∂z

#

z=zi

= (3.18)

De plus,

iii. J_z est nulle en z = 0 car la conductivit´e de l’air est nulle J_z(0) =−1

ρ₁

"

∂V

∂z

#

z=0

= 0 (3.19)

iv. le potentiel est nul `a l’infini

V(z → ∞) = 0 (3.20)

3.3 Relation de r´ ecurrence de Pekeris

Nous sommes maintenant prˆets `a aborder le probl`eme du potentiel ´electrique dans un milieu tabulaire. Soit un courant I inject´e `a la surface d’un milieu constitu´e de N couches de r´esistivit´es ρ<sub>i</sub> et d’´epaisseurs h<sub>i</sub> variables et d’un substratum de r´esistivit´eρ<sub>N+1</sub>. L’interface entre la couche i et la couche i+ 1 est `a une profondeur z_i.

AIR I

0 ?

ρ1, h1

z₁

ρ₂, h₂ z₂

· · · zN

ρ_N+1

Figure 3.1: Injection de courant sur un milieu tabulaire `a N couches.

Appliquons les conditions aux limites. La condition i. (3.17) nous dit qu’en z =zi les potentiels sont ´egaux:

V_i(r, z_i) = ρ₁I 2π

Z _∞

0

he^−λzi+ Θ_i(λ)e^−λzi+X_i(λ)e^λziiJ₀(λr)dλ

et

V_i+1(r, z_i) = ρ₁I 2π

Z _∞

0

he^−λzi+ Θ_i+1(λ)e^−λzi +X_i+1(λ)e^λziiJ₀(λr)dλ Soit, apr`es simplification

Z _∞

0

he^−λzi + Θ_i(λ)e^−λzi +X_i(λ)e^λziiJ₀(λr)dλ=

Z _∞

0

he^−λzi+ Θ_i+1(λ)e^−λzi +X_i+1(λ)e^λziiJ₀(λr)dλ Cette ´egalit´e sera toujours vraie si les termes entre crochets sont ´egaux, soit

Θ_i(λ)e^−λzi+X_i(λ)e^λzi = Θ_i+1(λ)e^−λzi+X_i+1(λ)e^λzi (3.21) La condition ii. (3.18) nous dit qu’en z = z_i les composantes verticales de la densit´e de courant sont ´egales:

Jzi(zi) =−1 ρ_i

∂V_i

∂z z=zi

=Jzi+1(zi)

J_zi(z_i) =−1 ρ_i

ρ₁I 2π

Z _∞

0

h−λe^−λzi−λΘ_i(λ)e^−λzi +λX_i(λ)e^λziiJ₀(λr)dλ et

J_zi+1(z_i) = − 1 ρ_i+1

ρ₁I 2π

Z _∞

0

h−λe^−λzi−λΘ_i+1(λ)e^−λzi +λX_i+1(λ)e^λziiJ₀(λr)dλ Soit, apr`es simplifications suivant le mˆeme raisonnement que pour la condition i.

1 ρ_i

h(1 + Θ_i(λ))e^−λzi−X_i(λ)e^λzii= 1 ρ_i+1

h(1 + Θ_i+1(λ))e^−λzi −X_i+1(λ)e^λzii (3.22)

La condition iii. (3.19) nous dit qu’enz = 0 J_z est nulle J_z(z) =−1

ρ_i ρ₁I

2π

Z _∞

0

h−λe^−λz −λΘ₁(λ)e^−λz+λX₁(λ)e^λziJ₀(λr)dλ

donc

J_z(0) =−1 ρi

ρ₁I 2π

Z _∞

0 [−λ−λΘ₁(λ) +λX₁(λ)]J₀(λr)dλ = 0 Soit

J_z(0) =−1 ρ_i

ρ₁I 2π

Z _∞

0 [−1−Θ₁(λ) +X₁(λ)]J₀(λr)λdλ= 0

Ce qui sera v´erifi´e si l’expression entre crochets est nulle. Regardons-la de plus pr`es: le premier terme provient en fait du potentiel que l’on obtiendrait pour un mlilieu homog`ene (cf.

3.14) et on ne va donc plus s’en pr´eoccuper car il satisfait forc´ement la condition (3.19). Les deux autres termes prennent en compte l’h´et´erog´en´eit´e du sous-sol. On petu les consid´erer comme des perturbations au potentiel homog`ene. Le courant reli´e `a ces perturbations doit aussi ˆetre nul en surface afin que la somme des courants homog`ene et h´et´erog´ene soit nulle.

On retrouve donc

−Θ1(λ) +X1(λ) = 0 soit

Θ1(λ) = X1(λ) (3.23)

Revenons un petit instant en arri`ere. Sachant ce qu’on sait maintenant, jetons un coup d’oeil `a l’´equation du potentiel ´electrique `a la surface, prenant (3.15) en z = 0

V1(r) = ρ₁I 2π

Z _∞

0 [1 + Θ1(λ) +X1(λ)]J0(λr)dλ

= ρ₁I 2π

Z _∞

0 [1 + 2Θ₁(λ)]J₀(λr)dλ D´efinissons la fonction K₁(λ) = 1 + 2Θ₁(λ). Il reste

V1(r) = ρ₁I 2π

Z _∞

0 K1(λ)J0(λr)dλ (3.24)

(3.24) nous sera tr`es utile pour la suite. En effet, on voit que si on arrive `a calculer K₁(λ) on aura r´esolu notre probl`eme car ce qui nous int´eresse (pour ce cours du moins!), c’est de calculer le potentiel en surface afin de pouvoir interpr´eter nos mesures ´electriques.

Enfin, la condition iv. (3.20) impose que V soit nul pour une profondeur infinie.

Prenant (3.15), on se rend compte que cette condition ne peut ˆetre remplie que si les effets de l’exponentielle e^λz sont annihil´es. Pour ce faire, on doit avoir dans la derni`ere couche

X_N+1(λ) = 0 (3.25)

Voil`a! On a fini de poser le probl`eme, reste `a le r´esoudre. Un peu de cuisine et quelques d´efinitions judicieusement choisies devraient faire l’affaire...

Ajoutons e^−λzi de chaque cˆot´e de (3.21)

e^−λzi + Θ_i(λ)e^−λzi+X_i(λ)e^λzi =e^−λzi + Θ_i+1(λ)e^−λzi +X_i+1(λ)e^λzi Divisons par la condition (3.22), on retouve alors

ρ_ie^−λzi + Θ_i(λ)e^−λzi +X_i(λ)e^λzi

e^−λzi + Θi(λ)e^−λzi −Xi(λ)e^λzi =ρ_i+1e^−λzi + Θ_i+1(λ)e^−λzi+X_i+1(λ)e^λzi e^−λzi + Θi+1(λ)e^−λzi −Xi+1(λ)e^λzi

ou

ρ_i1 + Θ_i(λ) +X_i(λ)e^2λzi

1 + Θi(λ)−Xi(λ)e^2λzi =ρ_i+11 + Θ_i+1(λ) +X_i+1(λ)e^2λzi

1 + Θi+1(λ)−Xi+1(λ)e^2λzi (3.26) Nous allons d´efinir une nouvelle fonction K_i(λ), telle que

K_i(λ) = 1 + Θ_i(λ) +X_i(λ)e^2λzi−1

1 + Θ_i(λ)−X_i(λ)e^2λzi−1 (3.27) Soit le mˆeme rapport que dans l’´equation pr´ec´edente, mais au-dessus de la couche i.

Pourquoi ce choix? Regardons ce qui se passe au-dessus de la couche i= 1, soit enz = 0:

K1(λ) = 1 + Θ_i(λ) +X_i(λ) 1 + Θ_i(λ)−X_i(λ)

or on sait que Θ₁(λ) = X₁(λ), d’o`u K₁ = 1 + 2Θ(λ), tel que pos´e pr´ec´edemment. Ce choix n’est donc pas innocent!

Le cˆot´e droit de (3.26) est simplement ρi+1Ki+1(λ). Pour le cˆot´e gauche, divisons les num´erateur et d´enominateur de (3.27) par X_i(λ):

K_i(λ) =

1+Θi(λ)

Xi(λ) +e^2λzi−1

1+Θi(λ)

Xi(λ) −e^2λzi−1 Posons

Ψ(λ) = 1 + Θ_i(λ) X_i(λ) alors

K_i(λ) = Ψ +e^2λzi−1 Ψ−e^2λzi−1

Ψ = K_i+ 1 K_i−1e^2λzi−1

Divisons aussi les num´erateur et d´enominateur du cˆot´e gauche de (3.26) par X_i(λ) ρ_i

1+Θi(λ)

Xi(λ) +e^2λzi

1+Θi(λ)

Xi(λ) −e^2λzi =ρ_iΨ +e^2λzi

Ψ−e^2λzi =ρ_i+1K_i+1 Rempla¸cons Ψ par sa valeur trouv´ee pr´ec´edemment

ρi(Ki + 1)e^2λzi−1 + (Ki−1)e^2λzi

(K_i+ 1)e^2λzi−1 −(K_i−1)e^2λzi =ρi+1Ki+1 (3.28) Divisons les num´erateur et d´enominateur du cˆot´e gauche de (3.28) par e^2λzi−1

ρ_i(K_i+ 1) + (K_i−1)e^{2λ(zi−zi−1)}

(K_i+ 1)−(K_i−1)e^{2λ(zi−zi−1)} =ρ_i+1K_i+1 (3.29) Maisz_i−z_i−1 =h_i, l’´epaisseur de la couche i. Posonsp_i =ρ_i/ρ_i+1, (3.29) devient alors

p_i(K_i+ 1) + (K_i−1)e^{2λ(zi−zi−1)}

(K_i+ 1)−(K_i−1)e^{2λ(zi−zi−1)} =K_i+1 donc

K_i+1 =p_iK_i(1 +e^2λhi)−(e^2λhi−1) (e^2λhi + 1)−Ki(e^2λhi−1) Rappel

tanhλh_i = e^2λhi −1 e^2λhi + 1

En divisant les num´erateur et d´enominateur pare^2λhi+ 1, on obtient K_i+1 =p_i K_i−tanhλh_i

1−K_itanhλh_i et donc, enfin

K_i(λ) = K_i+1+p_itanhλh_i

p_i+K_i+1tanhλh_i (3.30)

Si on cherche K pour une couche donn´ee i, on a seulement besoin du K de la couche en-dessous et des propri´et´es de la couche i. Voil`a donc la relation de r´ecurrence qui nous permettra de remonter jusqu’`a K₁ et ainsi r´esoudre (3.24). Il reste cependant un petit probl`eme: quid de la couche N + 1?

On sait par la condition iv. que XN+1 = 0. Reprenant la d´efinition de Ki (3.27), on voit que pour le substratum il reste

K_N+1 = 1 + ΘN+1(λ)

1 + Θ_N+1(λ) = 1(!!)

Cette approche du probl`eme tabulaire, la relation de r´ecurrence est connue sous le nom de relation de Pekeris, permet en fait de trouver le K_i de l’infini jusqu’au toit de la couchei.

A chaque fois qu’on passe deK_i+1 `aK_i, c’est comme si on ajoutait une couche de r´esistivit´e ρi et d’´epaisseur hi au-dessus de la pile...

Grˆace `a la relation de r´ecurrence, cette approche est tr`es facile `a programmer.

3.4 Exemple: dispositif Wenner

Nous avons parl´e de ce dispositif au chapitre pr´ec´edent. Il s’agit du dispositif pour lequel les

´electrodes sont ´equidistantes, avec les ´electrodes de courant `a l’ext´erieur et celles de potentiel

`a l’int´erieur.

La r´esistivit´e apparente est donn´e par ρ_aw = ∆V

I 2πa avec

∆V = ρI π

µ1 a − 1

2a

¶

qu’on peut aussi exprimer comme

∆V =f(a)−g(2a) avec

f(a) = ρ₁I π

Z _∞

0 K₁(λ)J₀(aλ)dλ g(2a) = ρ₁I

π

Z _∞

0 K₁(λ)J₀(2aλ)dλ d’o`u

ρ_aw = 2aρ₁

·Z _∞

0 K₁(λ)J₀(aλ)dλ−

Z _∞

0 K₁(λ)J₀(2aλ)dλ

¸

(3.31) Un exemple de calcul de la r´esistivit´e apparente d’un milieu tabulaire pour un dispositif Wenner est illustr´e sur la figure 3.2. Le milieu est constitu´e d’une premi`ere couche de 100 Ω.m de 20 m d’´epaisseur, d’une deuxi`eme couche de 10 Ω.m aussi de 20 m d’´epaisseur et d’un demi-espace de 1000 Ω.m. Notez que l’augmentation de l’´ecart a revient `a augmenter la profondeur d’investigation.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 40

50 60 70 80 90 100

Wenner sur milieu tabulaire

a (m) ρ aw (Ω.m)

Figure 3.2: Exemple de variation de la r´esistivit´e apparente ρ_a en fonction de l’´ecart aentre les ´electrodes du dispositif Wenner.