Module 4 : Diagonalisation d’une matrice
1. Notion d’espace vectoriel réel
1) Lorsqu’un ensemble E est muni d’une opération de groupe commutatif (a+b=b+a) et d’une opération externe appelée homothétie ayant comme propriétés :
- l’associativité α
( ) ( )
βv = αβ v α, β réels ; v vecteur - la distributivité( )
v v ) v v (
v v v
α ′ + α
′ = +
αα+β =α +β - neutre pour l’élément unité : 1⋅v =v
on l’appelle espace vectoriel réel et ses éléments sont appelés vecteurs.
Exemple d’espaces vectoriels : l’ensemble des fonctions continues de ℜ dans ℜ, l’ensemble des polynômes sur ℜ…
2) On appelle sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E toute partie de E qui constitue un espace vectoriel pour les « mêmes » opérations.
2. Vecteurs propres – valeurs propres
Soit A une matrice carrée. On appelle vecteur propre V, non nul, associé à la valeur propre λ∈ℜ de A la solution de l’équation :
0 V ) A ( 0 V AV V
AV=λ ⇔ −λ = ⇔ −λΙ =
Il s’agit d’un système d’équations linéaires homogènes (le second membre est nul.) Cette relation ne peut pas être vérifiée si la matrice A −λΙ est régulière (ou inversible). C'est-à-dire, si la matrice A−λΙ est régulière, ce système admet la solution unique V=0 (solution triviale).
Une valeur propre est donc une solution de l’équation det
(
A−λI)=0)
dont le 1er membre est un polynôme de degré n en λ.Lorsque la solution de cette équation admet n valeurs propres distinctes, il leur correspond n vecteurs propres linéairement indépendants. On peut alors utiliser ces vecteurs pour construire une base. On peut aussi les normer pour avoir une base d’un système orthonormée.
Si l’on représente une application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même à l’aide d’une base de vecteurs propres
(
V1,V2,KVn)
, la matrice obtenue est une matrice diagonale. Elle s’écrit :
λ λ
λ
=
n 2
1
0
0 0
0 0
0
D
K K
O M O
M
K
λi étant la valeur propre associée au vecteur propre Vi.
Plus généralement, une application linéaire A est diagonalisable s‘il existe une base dans laquelle la matrice associée est une matrice diagonale.
N.B. une application linéaire f de E dans F s’écrit :
f : E→F
α
= α
+
= +
) u ( f ) u ( f
) v ( f ) u ( f ) v u ( f
3. Pratique de la diagonalisation
3.1. Théorie
Pour diagonaliser une matrice M, on cherche d’abord les valeurs propres, en résolvant l’équation : 0
M−λΙ = qui est de degré n en général. (avec M−λΙ =det
[
M−λΙ]
Cette équation est appelée équation caractéristique.
Pour chaque racine1 λj de cette équation, on cherche le sous-espace propre associé, c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs non nuls X tels que
[
M−λjI]
X=0 et une base de ce sous-espace.Si la réunion de ces bases comporte moins de n vecteurs, M n’est pas diagonalisable.
Si elle en comporte n, elle constitue une base de vecteurs propres ; la matrice H dont les colonnes sont ces vecteurs propres est appelée matrice de passage.
H 1
D H
M= ⋅ ⋅ − où D est la matrice diagonale des valeurs propres.
Le sous-espace vectoriel associé à une valeur propre simple est toujours de dimension 1.
3.2. Exemples
Exemple 1 : Diagonaliser la matrice M :
−
−
−
−
=
0 2 6
2 0 6
4 4 14 M
1) Résoudre l’équation caractéristique det
[
M−λΙ]
=00 2
6
2 6
4 4 14
= λ
−
−
− λ
−
−
− λ
−
En remplaçant la 3ième colonne par 2ième colone-3ième colonne on ne changera pas le déterminant (Cf propriété des déterminants) on obtient :
0 2
2 6
2 6
0 4 14
= λ +
−
−
+ λ
− λ
−
− λ
−
⇔ Puis en remplaçant la 2ième ligne par : 2ième ligne+3ième ligne on obtient :
0 2 2
6
0 2 12
0 4 14
=
− λ
−
− λ
−
− λ
−
⇔ Comme il y a deux 0 dans la 3ième colonne, on calculera le déterminant à
partir de cette 3ième colonne. Le calcul devient donc
1 On appelle racine d’une équation la (ou les) valeur(s) que résoud cette équation
( )( ( )( ) )
( ) ( )
(
22) ( 14122820)
02 48
48 2 14
2 2 12
4 214
2
2
= + λ
− λ
− λ
=
+ λ + λ +
− λ
−
− λ
=
+
− λ
− λ
−
− λ
− = λ
−
− λ
− − λ
⇔
0 20 12
ou 0 2
2− λ+ = λ
=
− λ
⇔
Rappel : Lorsque l’on a une équation du second degré de type : ax2 +bx+c, on utilise, pour factoriser
ac 4 b2−
=
∆
Les solutions de cette équation (Si ∆≥0) sont :
(
x′etx′′)
= −b2±a ∆pour la seconde équation λ2 −12λ+20 64 80 144 20 4
122− ⋅ = − =
=
∆
2 10 8 12+ =
( )
λ′λ ′′ =12±2 642 2 8 12− =
(
10)(
2)
20
2 −12λ+ = λ− λ− λ
⇒
L’équation det
[
M−λI]
=0 s’écrit donc :(
λ−2)(
λ−2)(
λ−10)
=0⇒
Les valeurs propres obtenues sont donc
= λ
= λ
= λ
10 2
3 2 1
2) Recherche des vecteurs propres associés aux différents λi.
• D’abord associés à λ1=λ2 =2
=
λ
−
−
− λ
−
−
− λ
−
0 0 0
z y x
2 6
2 6
4 4 14
1 1 1
=
−
−
=
−
−
=
−
−
⇔
0 z 2 y 2 x 6
0 z 2 y 2 x 6
0 z 4 y 4 x 12
Le système se réduit à l’équation : 0 z y x 3 0 z 2 y 2 x
6 − − = ⇔ − − =
Les vecteurs propres forment ici un plan vectoriel, dont on peut prendre une base formée de 2 vecteurs (on dit un plan vectoriel de vecteurs directeurs), par exemple : (1,2,1), (1,1,2).
• Associés à λ3 =10
=
λ
−
−
− λ
−
−
− λ
−
0 0 0
z y x
2 6
2 6
4 4 14
3 3 3
=
−
−
=
−
−
=
−
−
⇔
=
−
−
=
−
−
=
−
−
⇔
0 z 5 y x 3
0 z y 5 x 3
0 z y x
0 z 10 y 2 x 6
0 z 2 y 10 x 6
0 z 4 y 4 x 4
z y x= +
⇒
=
−
= +
⇔ −
=
−
− +
=
−
−
⇒ +
0 z 2 y 2
0 z 2 y 2 0
z 5 y z 3 y 3
0 z y 5 z 3 y 3
z y 0 z
y− = ⇔ =
⇔
=
⇒ = z y
y 2 x
On peut prendre une base de cette droite vectorielle, par exemple (2,1,1).
Donc on a obtenu 3 vecteurs propres indépendants et donc une base de vecteurs propres :
1 1 2
2 1 1
1 2 1
3) Matrice M :
=
1 2 1
1 1 2
2 1 1 H
H 1
D H M= ⋅ ⋅ − Calcul de H−1
′=
1 1 2
2 1 1
1 2 1 H
−
− +
−
−
−
−
′=
1 1 3
3 1 1
1 3 1 H~
1 4 1
3 11
1 1 1
3 1 2
0 0 1 H
− =
=
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
1 1 3
3 1 1
1 3 1 4 H 1 1
H 1
D H M= ⋅ ⋅ −
⇒
−
−
−
−
−
−
=
25 , 0 25 , 0 75 , 0
75 , 0 25 , 0 25 , 0
25 , 0 75 , 0 25 , 0
10 0 0
0 2 0
0 0 2
1 2 1
1 1 2
2 1 1 M
On peut aussi écrire : H M H D= −1⋅ ⋅
Exemple 2 : Diagonaliser la matrice
=
10 0 4
4 2 2
0 0 2 M
1) 0
(
2)(
2)(
10)
010 0 4
4 2
2
0 0
2
= λ
− λ
− λ
−
⇔
= λ
− λ
− λ
−
Valeurs propres λ1=λ2 =2 λ3 =10
2) Recherche des vecteurs propres associés à :
• λ3 =10
=
λ
− λ
− λ
−
0 0 0
z y x
10 0
4
4 2
2
0 0
2
3 3
3
=
⇒ =
=
= +
−
=
−
y 2 z
0 x 0
x 4
0 z 4 y 8 x 2
0 x 8
On peut prendre une base de cette droite vectorielle (0,1,2).
• λ1=λ2 =2
=
λ
− λ
− λ
−
0 0 0
z y x
10 0 4
4 2
2
0 0
2
1 1
1
= +
= +
=
0 z 8 x 4
0 z 4 x 2
0 0
z 2 x=−
⇔
Droite vectorielle de vecteur directeur (-2,1,1).
On a une matrice d’ordre 3 ; on n’obtient que 2 vecteurs propres indépendants. La matrice n’est donc pas diagonalisable.
4 Matrice orthogonale
La matrice des vecteurs propres est une matrice orthogonale Si A est orthogonale alors : A−1=A'
Si A est orthogonale ⇒ A ⊥ =1 (si A est orthogonale, sont déterminant est égal à 1)
Si A est ⊥ (orthogonale) les valeurs propres de A =±1 (si A est orthogonale, ses valeurs propres sont égales à + ou -1.
Si A est ⊥ et B est ⊥ ⇒AB=C→C⊥ (le produit de deux matrices orthogonales est une matrice orthogonale)
Si A est symétrique alors ∀C C'AC=Λ ou Λ est la matrice des vecteurs propres de A
∑
λ= i
trA (la trace de A est égale à la somme des valeurs propres)
Si C⊥ alors tr
[
C'AC] [ ]
=tr A Si C est orthogonale, alors la trace de la matrice [C’AC] est égale à la trace de A.Si A idempotente alors les valeurs propres de A sont =0 ou à 1, rang(A)=tr
[ ]
ASi C’AC est idempotente alors C est orthogonale (⇒C⊥)
