le 17 F´evrier 2011 UTBM - MT12
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
T D N
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Valeurs, vecteurs et espaces propres, diagonalisation, trigonalisation
Exercice 1 Soit E un espace vectoriel de dimensionn∈N etβ et β′ deux bases de E. On note P la matrice de passage P de β `a β′.
Montrer qu’il existe un vecteur non nul de E ayant les mˆeme coordonn´ees dans la baseβ et dans la base β′, si et seulement si, 1 est valeur propre de la matrice de passage P.
Exercice 2 1. Trouver les valeurs propres de l’endomorphisme de R3 associ´e (dans la base canonique) `a la matrice A=
1 1 2 2 1 1 0 1 3
. (i.e. trouver les solutions de det(A−λI) = 0).
2. trouver une base de chaque sous-espaces propres.
3. En d´eduire une base dans laquelle la matrice associ´ee `a l’endomorphisme pr´ec´edent est diagonale.
Exercice 3 En reprenant la m´ethode ci-dessus, diagonaliser les matrices
A=
3 −1 1
−1 3 1
0 0 4
et B=
1 −1 1
−2 1 2
−2 −1 4
En d´eduire A4 et g´en´eraliser `a An, n∈N.
Exercice 4 D´eterminer limn→+∞An (coefficient par coefficient) avecA= ( 1
6 −13
−26 −16 )
.
Exercice 5 Soit f ∈End(R3) de matrice (dans la base canonique)
A=
4 1 −2
−5 1 7
−1 0 4
.
1. Trouver les valeurs propres de f,
2. d´eterminer une base de ses sous-espaces propres,
3. d´eterminer une base deR3 dans laquelle la matrice de f est
3 1 0 0 3 1 0 0 3
1
Exercice 6 Soit f un endomorphisme deR3 tel que sa matrice dans la base canonique deR3 est
0 a a2
1
a 0 a
1 a2
1
a 0
.
Montrer qu’il existe une base B de R3 telle que M at(f, B) soit diagonale.
Exercice 7 Trigonaliser les matrices :
1 0 0
0 0 1
1 −4 4
et
5 3 1
0 3 0
−4 −6 1
Exercice 8 En s’aidant de l’exercice 7, r´esoudre le syst`eme diff´erentiel :
∂x
∂t =x
∂y
∂t =z
∂z
∂t =x−4y+ 4z
Exercice 9 Diagonaliser ou trigonaliser suivant les cas, les matrices :
1 −1 1
−1 0 2
−1 −1 3
et
0 0 1 1 2 −1 0 1 1
2
