UNSA – Compl´ements d’alg`ebre et d’analyse– L2 2013-2014 Contrˆole du 2 d´ecembre 2013
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On consid`ere les matrices r´eelles
A=
1 −2 3 −4
, B =
1 −2 0
−1 0 −1
0 2 1
, Cm=
1 m 0
m+ 1 0 m+ 1
0 2 1
,
o`um est un param`etre r´eel.
a. D´eterminer le polynˆome caract´eristique et les valeurs propres deA.
b. DiagonaliserAet en d´eduireexp(A).
c. D´eterminer le polynˆome caract´eristique et les valeurs propres deB. Quels sont les espaces propres deB ? La matriceB est-elle diagonalisable ? Justifier votre r´eponse !
d. D´eterminer polynˆome caract´eristique et valeurs propres de Cm.
e. Pour quelles valeurs dem, la matriceCmest-elle diagonalisable ? D´eterminer les espaces propres deCmquandCmest diagonalisable.
Barˆeme indicatif : Toutes les questions valent 2 points.