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D´eterminer le polynˆome caract´eristique et les valeurs propres deB

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Academic year: 2022

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UNSA – Compl´ements d’alg`ebre et d’analyse– L2 2013-2014 Contrˆole du 2 d´ecembre 2013

Dur´ee : 0h45. Tous documents interdits.

On consid`ere les matrices r´eelles

A=

1 −2 3 −4

, B =

1 −2 0

−1 0 −1

0 2 1

, Cm=

1 m 0

m+ 1 0 m+ 1

0 2 1

,

o`um est un param`etre r´eel.

a. D´eterminer le polynˆome caract´eristique et les valeurs propres deA.

b. DiagonaliserAet en d´eduireexp(A).

c. D´eterminer le polynˆome caract´eristique et les valeurs propres deB. Quels sont les espaces propres deB ? La matriceB est-elle diagonalisable ? Justifier votre r´eponse !

d. D´eterminer polynˆome caract´eristique et valeurs propres de Cm.

e. Pour quelles valeurs dem, la matriceCmest-elle diagonalisable ? D´eterminer les espaces propres deCmquandCmest diagonalisable.

Barˆeme indicatif : Toutes les questions valent 2 points.

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