Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚2
Contrapos´ ee, analyse-synth` ese, r´ ecurrence
D´ emonstrations par contrapos´ ee
Exercice 12 (Parit´e de deux entiers naturels dont le produit est pair) D´emontrer que :
(∀n∈N) (∀m∈N) (mnest pair)⇒((m est pair) ou (nest pair)).
Exercice 13 (Nombres r´eels positifs de somme nulle)
1. D´emontrer que :
(∀x∈R+) (∀y∈R+) (x+y= 0)⇒((x= 0) et (y= 0)).
2. Proposer une g´en´eralisation de la propri´et´e d´emontr´ee en 1..
D´ emonstrations par analyse-synth` ese
Exercice 14 (R´esolution d’une ´equation mettant en jeu une racine carr´ee) R´esoudre l’´equation
(E) : p
x2+x+ 1 = 2x−1 d’inconnuex∈R.
Exercice 15 (D´ecomposition en somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire) Soitf:R→Rune fonction.
1. D´emontrer qu’il existe une fonction pairep:R→Ret une fonction impairei:R→Rtelles que : f =i+p.
2. La d´ecomposition def obtenue en 1. est-elle unique ?
Exercice 16 (Une ´equation fonctionnelle) D´eterminer toutes les fonctionsf:R→Rtelles que :
(∀x∈R) (∀y∈R) f(x)f(y)−f(xy) =x+y.
Indication : On pourra commencer par consid´erer une fonction f:R→R solution de l’´equation fonctionnelle et d´eterminer la valeur def(0) pour une telle fonction.
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D´ emonstrations par r´ ecurrence
Exercice 17 (Somme des premiers entiers ´elev´es au carr´es) D´emontrer que pour tout n∈N∗:
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6 .
Exercice 18 (Somme des premiers entiers ´elev´es au cube) D´emontrer que pour tout n∈N∗:
n
X
k=1
k3=
n(n+ 1) 2
2 .
Exercice 19 (Somme des premiers entiers impairs) D´emontrer que pour tout n∈N:
n
X
k=0
(2k+ 1) = (n+ 1)2.
On proposera deux preuves : une premi`ere par r´ecurrence et une deuxi`eme s’appuyant sur la formule sommatoire pour la somme des premiers entiers, vue en cours.
Exercice 20 (In´egalit´e de Bernoulli) Soitx ∈R+. D´emontrer que pour toutn∈N:
(1 +x)n≥1 +nx.
Exercice 22 (Conjecture d’une formule et preuve d’icelle) Pour toutn∈N∗, on pose :
Sn=
n
X
k=1
k (k+ 1)!.
1. CalculerS1,S2,S3, puis conjecturer une expression deSn en fonction de (n+ 1)!.
2. D´emontrer la conjecture pr´ec´edente.
Exercice 24 (O`u est l’erreur ?)
On va montrer par r´ecurrence sur n que dans un pot contenantn crayons, si l’un des crayons est vert, alors tous les crayons sont verts.
• Initialisation :La propri´et´e est vraie pourn= 1.
• H´er´edit´e : Supposons la propri´et´e vraie au rangn et montrons-la au rang n+ 1. On se donne un pot contenant n+ 1 crayons et on suppose que l’un d’entre eux est vert. Alignons les crayons en mettant le vert en premi`ere position et appliquons l’hypoth`ese de r´ecurrence auxnpremiers crayons, puis aux n derniers. Tous les crayons sont alors verts.
• Conclusion :D’apr`es les deux points pr´ec´edents et l’axiome de r´ecurrence, la propri´et´e est vraie pour tout n∈N∗.
Qu’en penser ?
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