Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚6 Logique
Exercice 32 (N´egation d’une proposition quantifi´ee)
SoitIun intervalle deRet soitf:I→Rune fonction. Soita∈I et soitl∈R. Par d´efinition, on dit quef(x) tend versl quandxtend versasi :
∀ε∈R>0, ∃δ∈R>0, ∀x∈I, |x−a| ≤δ ⇒ |f(x)−l| ≤ε.
Nier la proposition logique pr´ec´edente.
Exercice 33 (Parit´e de deux entiers naturels dont le produit est pair) D´emontrer que :
∀n∈N, ∀m∈N, mnest pair⇒(mest pair ounest pair).
Exercice 34 (Nombres r´eels positifs de somme nulle) 1. D´emontrer que :
∀x∈R≥0, ∀x∈R≥0, x+y= 0⇒(x= 0 ety= 0).
2. Proposer une g´en´eralisation de la propri´et´e d´emontr´ee en 1.
Exercice 35 (Injectivit´e d’une homographie) D´emontrer que :
∀x∈R\ {3}, ∀y∈R\ {3}, x6=y ⇒ 1−2x
x−3 6= 1−2y y−3 .
Exercice 36 (R´esolution d’une ´equation mettant en jeu une racine carr´ee) Soit l’´equation
(E) : p
2x2−7x+ 6 =x−2 d’inconnuex∈R\
3 2,2
.
1. Justifier le choix du domaine de d´efinition de l’´equation.
2. ´Ecrire le domaine de d´efinition de l’´equation comme r´eunion de deux intervalles.
3. R´esoudre l’´equation (E).
Exercice 37 (Une ´equation fonctionnelle) D´eterminer toutes les fonctionsf:R→Rtelles que :
∀x∈R, ∀y∈R, f(x)f(y)−f(xy) =x+y.
Indication : On pourra commencer par consid´erer une fonctionf:R→R solution de l’´equation fonctionnelle et d´eterminer la valeur def(0) pour une telle fonction.
1
Exercice 38 (Somme des premiers entiers impairs) D´emontrer que pour toutn∈N:
n
X
k=0
(2k+ 1) = (n+ 1)2.
On proposera deux preuves : une premi`ere par r´ecurrence et une deuxi`eme s’appuyant sur la formule sommatoire pour la somme des premiers entiers, vue en cours.
Exercice 39 (In´egalit´e de Bernoulli) Soitx ∈R≥0. D´emontrer que pour toutn∈N:
(1 +x)n ≥1 +nx.
Exercice 40 (Conjecture d’une formule et preuve d’icelle) Pour toutn∈N∗, on pose :
Sn=
n
X
k=1
k (k+ 1)!.
1. CalculerS1,S2,S3, puis conjecturer une expression deSn en fonction de (n+ 1)!.
2. D´emontrer la conjecture pr´ec´edente.
Exercice 41 (O`u est l’erreur ?)
On va montrer par r´ecurrence surn ∈N∗ que dans un pot contenantn crayons, si l’un des crayons est vert, alors tous les crayons sont verts.
• Initialisation :La propri´et´e est vraie pourn= 1.
• H´er´edit´e : Supposons la propri´et´e vraie au rang n et montrons-la au rang n+ 1. On se donne un pot contenant n+ 1 crayons et on suppose que l’un d’entre eux est vert. Alignons les crayons en mettant le vert en premi`ere position et appliquons l’hypoth`ese de r´ecurrence aux npremiers crayons, puis aux n derniers. Tous les crayons sont alors verts.
• Conclusion :D’apr`es les deux points pr´ec´edents et l’axiome de r´ecurrence, la propri´et´e est vraie pour tout n∈N∗.
Qu’en penser ?
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