6 Equations du premi` ere ordre
Exercice 6.1. Consid´erons l’´equation
∂tu+ (b· ∇)u=f, t≥0, x∈Rd, (6.1) o`ub∈Rd etf =f(t, x) est une fonction continˆument diff´erentiable.
(a) Trouver les caract´eristiques pour l’´equation (6.1).
(b) Donner une formule explicite pour la solution de l’´equation (6.1) v´erifiant la condition initiale
u(x,0) =g(x), x∈Rd, (6.2) o`u g∈C1(R) est une fonction donn´ee.
Exercice 6.2. R´esoudre les ´equations lin´eaires suivantes:
x∂xu+y∂yu= 2u, u(x,1) =g(x),
∂tu+x∂xu+ 2y∂yu= 3u, u(x, y,0) =g(x, y), o`ug∈C1 est une fonction donn´ee.
Exercice 6.3. Trouver toutes les solutions de l’´equationy∂xu=x∂yusurR2. Exercice 6.4. Trouver toutes les solutions de l’´equation �
kxk∂ku= 0 d´efinies surRd.
Exercice 6.5. Consid´erons l’´equation quasilin´eaire
∂tu+u∂xu=f, t≥0, x∈R. (6.3) Trouver les solutions de l’´equation (6.3) dans les cas suivants:
(a) f ≡1,u(s, s) = 12s,s∈R; (b) f =x,u(0, x) = 0, x∈R;
(c) f ≡0,u(0, x) = arctanx,x∈R; (d) f = sinx,u(0, x) = 0,x∈R.
Exercice 6.6. Trouver toutes les solutions du probl`eme de Cauchy dansRd:
|∇u(x)|2=|x|2, u��
|x|=1=C∈R.
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