sont d´ efinis par r´ ecurrence. On part de K

L’ensemble triadique de Cantor

L’ensemble triadique de Cantor K ⊂ [0, 1] est d´ efini comme une intersec- tion K = \

n∈N

K

o` u les ensembles K

sont d´ efinis par r´ ecurrence. On part de K

= [0, 1]. Pour passer ` a K

on retire ` a K

un intervalle ouvert cen- tral (central signifie ici sym´ etrique par rapport au milieu du segment initial) de longueur 1/3, pr´ ecis´ ement l’intervalle ]1/3, 2/3[. L’ensemble K

est donc r´ eunion de deux segments de longueur 1/3 : [0, 1/3] et [2/3, 1]. Pour passer ` a K

on retire ` a chacun de ces segments un intervalle ouvert central de largeur 1/9. On obtient une r´ eunion de 4 segments disjoints, chacun de longueur 1/9, pr´ ecis´ ement : [0, 1/9], [2/9, 1/3 = 3/9], [2/3 = 6/9, 7/9] et [8/9, 1 = 9/9]. On construit ainsi par r´ ecurrence K

qui est r´ eunion de 2

segments disjoints, chacun de longueur 1

3

, et on passe `a K

en retirant ` a chacun des segments constitutifs de K

un intervalle ouvert central de largeur 1/3

.

0.1 D´ efinition. L’ensemble K = \

n∈N

K

est appel´ e ensemble triadique de Cantor.

Le lemme suivant explicite les segments qui composent K

:

0.2 Lemme. Soit n un entier ≥ 1. L’ensemble K

est r´ eunion des 2

seg- ments I

=

q

3

, q

+ 1 3

o` u q

est un entier de la forme : q

=

n

X

i=1

a

3

(autrement dit, q

= a

. . . a

a

en base 3), avec a

= 0 ou a

= 2.

Pr´ ecis´ ement, si I

est un segment de K

, contenu dans I

, q

est obtenu ` a partir de q

en ajoutant ` a droite de son ´ ecriture en base 3 un chiffre des unit´ es ´ egal ` a 0 ou 2.

D´ emonstration du lemme. On raisonne par r´ ecurrence sur n. Pour n = 1, on a K

= [0, 1/3]∪[2/3, 1] et la propri´ et´ e est v´ erifi´ ee. Supposons qu’elle le soit au cran n et passons ` a n+1. On enl` eve donc le tiers central de chaque segment q

3

, q

+ 1 3

. Pour cela on ´ ecrit ce segment sous la forme 3q

3

, 3q

+ 3 3

et il reste les deux segments 3q

3

, 3q

+ 1 3

et

3q

+ 2

3

, 3q

+ 3 3

. Si on

´

ecrit q

= a

. . . a

a

en base 3, on a 3q

= a

. . . a

a

0 et 3q

+ 2 = a

. . . a

a

2, c’est-` a-dire la forme annonc´ ee pour q

.

On peut maintenant d´ ecrire K

et K :

1

0.3 Proposition.

1) La somme des longueurs des segments constitutifs de K

est 2

3

. Cette quantit´ e est positive (de sorte que K

est non vide) et a pour limite 0 quand n tend vers l’infini.

2) L’ensemble K est compact, non vide, contenu dans [0, 1], d’int´ erieur vide (ce qui, dans le cas d’une partie de R, ´ equivaut ` a totalement discontinu).

D´ emonstration. Le point 1) est clair. Il est clair aussi que K

est compact (ferm´ e born´ e). Il est non vide car il contient 0 et 1. Montrons qu’il ne contient pas d’intervalle non r´ eduit ` a un point. Si K contenait un intervalle de largeur > 0, cet intervalle serait contenu dans K

, donc dans l’un des segments qui le constituent et sont ses composantes connexes. Or, la longueur des intervalles constitutifs de K

tend vers 0 avec n et elle est < pour n assez grand.

0.4 Th´ eor` eme. Tout ´ el´ ement x de K s’´ ecrit de mani` ere unique sous la forme (dite triadique) :

(∗) x =

∞

X

i=1

a

3

o` u les a

sont ´ egaux ` a 0 ou 2. R´ eciproquement, tout nombre de cette forme est dans K. On note (par analogie avec les ´ ecritures d´ ecimales illimit´ ees) :

x = 0, a

a

. . . a

. . .

D´ emonstration. Montrons d’abord l’unicit´ e de l’´ ecriture. Supposons que x admette deux ´ ecritures x =

∞

X

i=1

a

3

et x =

∞

X

i=1

b

3

avec les a

et les b

´ egaux ` a 0 ou 2. Soit n le plus petit entier tel que a

6= b

et supposons, par exemple, a

= 0 et b

= 2. On a alors d’une part, avec l’´ ecriture en a

:

x ≤

n−1

X

i=1

a

3

+ 0

3

+

∞

X

k=n+1

2 3

=

n−1

X

i=1

a

3

+ 1

3

et d’autre part, avec l’´ ecriture en b

:

x ≥

n−1

X

i=1

a

3

+ 2 3

et c’est absurde.

2

Montrons ensuite que les nombres x de la forme (∗) sont dans K. En effet, si on a x =

∞

X

i=1

a

3

avec des a

´ egaux ` a 0 ou 2, et si on pose q

=

n

X

i=1

a

3

, on a l’encadrement : q

3

≤ x ≤ q

+ 1

3

(car on a

∞

X

i=n+1

2 3

= 1

3

) ce qui montre que x est dans K

en vertu du lemme 0.2. Comme cela vaut pour tout n, x est bien dans K.

Montrons enfin que, si x est dans K, il s’´ ecrit sous la forme (∗). Pour n ∈ N

, on consid` ere le segment I

de K

qui contient x, et sa borne inf´ erieure x

= q

3

. On a |x − x

| ≤ 1

3

, ce qui montre que la suite x

converge vers x. Appelons a

le chiffre des unit´ es de q

en base 3. On sait que ce chiffre est ´ egal ` a 0 ou 2 en vertu de 0.2 et on montre par r´ ecurrence sur n qu’on a q

= a

. . . a

. En effet, le passage de q

` a q

r´ esulte du lemme 0.2. Le nombre x est donc limite de la suite x

=

n

X

i=1

a

3

, c’est-`a-dire la somme de la s´ erie

∞

X

i=1

a

3

.

0.5 Corollaire. L’ensemble triadique de Cantor n’est pas d´ enombrable.

D´ emonstration. On raisonne par l’absurde en supposant K d´ enombrable.

Cela signifie qu’on pourrait num´ eroter les ´ el´ ements de K : x

, x

, . . . , x

, . . ., cette suite les ´ epuisant tous. On va montrer que ceci est impossible en cons- truisant un ´ el´ ement de K, distinct de tous ceux de la suite (x

).

Pour cela on ´ ecrit x

, . . . x

, . . . sous forme triadique et on construit x en se donnant son d´ eveloppement triadique x = 0, a

a

. . . a

. . . comme suit.

On choisit a

∈ {0, 2} diff´ erent du premier chiffre apr` es la virgule de x

, disons x

. C’est possible : si x

vaut 0 on pose a

= 2, si x

vaut 2 on pose a

= 0. On choisit ensuite a

∈ {0, 2} distinct du deuxi` eme chiffre apr` es la virgule de x

, et ainsi de suite, on choisit a

∈ {0, 2} distinct du n-i` eme chiffre apr` es la virgule de x

. On a construit ainsi un ´ el´ ement de K. De plus, il est diff´ erent de tous les termes de la suite. En effet, il est diff´ erent de x

car ils n’ont pas le mˆ eme premier chiffre apr` es la virgule, de x

` a cause du deuxi` eme chiffre, de x

` a cause du n-i` eme chiffre : cqfd.

3