Universit´e Lille I L3 Maths
2012-2013 M-52
Session de rattrapage – 10 juin 2013 Dur´ee 4h
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.
La correction tiendra compte de la r´edaction. En particulier, tous les th´eor`emes utilis´es doivent ˆetre
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enonc´es pr´ecis´ement. Le bar`eme donn´e est indicatif.
Exercice 1 (5 points)
Soient (E,k · k) un espace vectoriel norm´e et K une partie compacte non vide deE. On suppose quef est une application d´efinie surK, v´erifiant
f(K)⊂K et ∀x, y∈K, kf(x)−f(y)k=kx−yk. a) Montrer quef est injective surK, et que f(K) est compact.
b) Dans cette question, on suppose par l’absurde qu’il existex0∈K\f(K).
i) Montrer qu’il exister >0 tel queB(x0, r)∩K soit inclus dansK\f(K). V´erifier que pour tout y∈f(K),ky−x0k ≥r.
ii) Pourn∈N∗, on pose xn =fn(x0) =f◦ · · · ◦f(x0). Montrer que ∀n∈N∗, kxn−x0k ≥r puis que∀q∈N, ∀p > q, kxp−xqk ≥r.
iii) Montrer que (xn)nn’admet pas de sous-suite convergente et en d´eduire une contradiction. D´eterminer f(K).
c) Montrer quef :K→K est un hom´eomorphisme.
Exercice 2 (5 points)
Le planR2 est muni de la norme euclidienne k · k. On noteBF(0, r) la boule ferm´ee dansR2 centr´ee `a l’origine et de rayonr >0, et Ωr=R2\BF(0, r) son compl´ementaire dans R2.
Soitf :R2→Rune fonction continue.
a) V´erifier que si x, y ∈ BF(0, r) et t ∈ [0; 1], alors ((1−t)x+ty) ∈ BF(0, r), et en d´eduire que f(BF(0, r)) est connexe.
b) Montrer que Ωr est connexe par arcs (on pourra s’aider d’un dessin,sans oublier de le justifier), puis quef(Ωr) est connexe.
c) Montrer quef(BF(0, r)) etf(Ωr) sont des intervalles deR, puis qu’il existe des r´eelsar≤brtels que f(R2) = [ar;br]∪f(Ωr).
d) On suppose de plus quef est surjective. Montrer que∀r >0, f(Ωr) =R. En d´eduire que pour tout c∈R, on peut construire une suite (xn)n d’´el´ements deR2 telle quekxnk →+∞et∀n, f(xn) =c.
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Exercice 3 (5 points)
L’espace E = Mn(R) des matrices n×nr´eelles est muni d’une norme sous-multiplicative, c’est-`a-dire v´erifiant∀M, N ∈E, kM Nk ≤ kMk · kNk. SoitA∈Eune matriceinversible, on pose pour toutM ∈E
f(M) = 2M−M AM.
a) Justifier quef est de classeC1. D´eterminer sa diff´erentielle.
b) Calculer f(A−1) et Df(A−1). En d´eduire qu’il existe δ > 0 tel que pour tout M ∈ BF(A−1, δ), kDf(M)kop≤ 12. V´erifier qu’on peut par exemple choisirδ= 4kAk1 .
On d´efinit une suite r´ecurrente parM0∈E et Mk+1=f(Mk) pourk≥0.
c) Montrer que si l’on suppose M0 ∈ BF(A−1, δ), alors Mk −−−−−→
k→+∞ A−1, et que la convergence est d’ordre 1, c’est-`a-dire :
∀k≥0, kMk+1−A−1k ≤ckMk−A−1k pour une certaine constantec.
d) Montrer que les matrices Nk =I−AMk v´erifient la relation Nk+1 =Nk2 et d´eterminer l’expression deNk en fonction deket M0. En d´eduire que si l’on suppose seulementkI−AM0k<1, on obtient encore queMk−−−−−→
k→+∞ A−1 et que la convergence est en fait d’ordre 2, c’est-`a-dire :
∀k≥0, kMk+1−A−1k ≤c0kMk−A−1k2 pour une certaine constantec0.
Exercice 4 (1 point)
Soient E un espace vectoriel norm´e de dimension finie et f :E → E une application de classeC1. Soit a∈E. On poseb:=f(a). Montrer qu’il existe un voisinage ouvertU de (0, a) dansR×E, un voisinage ouvertV de b dansE et une application g : U →V de classe C1 tels que, pour tout point (λ, x)∈U, l’´equationy=f(λy+x) admet y=g(λ, x) pour unique solution dansV.
Indication : Consid´erer l’applicationF :R×E×E→E d´efinie parF(λ, x, y) =y−f(λy+x).
Exercice 5 (4 points)
Soient n∈N∗, et α1, . . . , αn des nombres r´eels strictement positifs tels que Pn
i=1αi = 1. On consid`ere l’application
f : ([0; +∞[ )n→R; x= (x1, . . . , xn)7→
n
Y
i=1
xαii.
On noteraK:={x= (x1, . . . , xn)∈([0; +∞[ )n |Pn
i=1αixi= 1}.
a) Montrer qu’il existe a = (a1, . . . , an) ∈K tel que f(a) = supx∈Kf(x), et que sia est un tel point, alorsai >0 pour tout i∈ {1, . . . , n}.
b) Montrer quea= (1, . . . ,1) est l’unique point o`uf atteint son maximum surK.
c) D´eduire que pour tout x= (x1, . . . , xn)∈K on aQn
i=1xαii ≤1.
d) Conclure que pour toutx= (x1, . . . , xn)∈([0; +∞[ )n on aQn
i=1xαii ≤Pn i=1αixi. Indication :Pour x6= (0, . . . ,0) consid´erer ˜x:= β1 xo`uβ :=Pn
i=1αixi.
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