b) En d´eduire que pour tousx, y∈Rn on a kf(x)−f(y)k ≤ kx−yk

Universit´e Lille I L3 Maths

2012-2013 M-52

Examen – Vendredi 21 d´ecembre 2012 Dur´ee 4h

Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.

La correction tiendra compte de la r´edaction. En particulier, tous les th´eor`emes utilis´es doivent ˆetre

´

enonc´es pr´ecis´ement. Le bar`eme donn´e est indicatif.

Exercice 1 (5 points)

On consid`ere Rⁿ muni de la norme kxk = p

hx, xi o`u h·,·i est le produit scalaire usuel sur Rⁿ. Soit f :Rⁿ→Rⁿ une application de classe C¹ telle que pour tousx, h∈Rⁿ on ait

hDf(x)·h, Df(x)·hi=hh, hi.

Pouru∈ Lc(Rⁿ,Rⁿ) on notekukopla norme d’op´erateurs.

a) Montrer que pour toutx∈Rⁿ on akDf(x)kop= 1.

b) En d´eduire que pour tousx, y∈Rⁿ on a

kf(x)−f(y)k ≤ kx−yk.

c) Montrer que pour tout pointa∈Rⁿ, il existe un voisinage ouvertU de a dansRⁿ tel que f |_U:U → f(U) soit unC¹-diff´eomorphisme.

d) Soitg:f(U)→U le diff´eomorphisme r´eciproque. Montrer que six∈U on a, poury:=f(x), l’´egalit´e hDg(y)·h, Dg(y)·hi=hh, hi

pour touth∈Rⁿ. En d´eduire quekDg(y)kop= 1.

e) Conclure qu’il existe un voisinage ouvertU1 deatel que U1⊆U et que pour tousx, y∈U1 on ait kf(x)−f(y)k=kx−yk.

Indication : On pourra prendre U1 :=g(B) o`u B est une boule ouverte de centre f(a) et de rayon assez petit pour queB⊆f(U), et appliquer le th´eor`eme des accroissements finis `a la restriction de g

`

aB (cette d´emarche ´etant `a justifier).

Exercice 2 (9 points)

Soitn∈N^∗, on munitRⁿ d’une norme quelconque ;BF(0, R) d´esigne la boule ferm´ee de centre 0 et de rayonR dansRⁿ. Soitf :Rⁿ →Rⁿ une applicationcontinue. On dit que

1. f part `a l’infini en l’infini sikf(x)k −−−−−−→

kxk→+∞ +∞;

2. f est propre si pour tout compactK deRⁿ,f⁻¹(K) est un compact.

a) Montrer quef part `a l’infini en l’infini si et seulement si pour tout M >0, il existe A > 0 tel que f⁻¹(BF(0, M))⊂BF(0, A).

1

b) Montrer que les affirmations (1) et (2) sont ´equivalentes.

c) Donner un exemple d’application continue qui n’est pas propre.

d) On suppose quef est propre et continue. SoitF une partie deRⁿ.

i) Soit (yk)k une suite dans f(F) qui converge vers y ∈ Rⁿ. Montrer qu’il existe une suite (xk)k

dansF telle que∀k, yk=f(xk), et que (xk)k est born´ee.

ii) En d´eduire que siF est ferm´ee dansRⁿ, alorsf(F) est aussi ferm´ee dansRⁿ. e) On d´efinit la fonctionf :R³→R³ par

f(x, y, z) = (2y+ sinz,2z+ sinx,2x+ siny).

i) V´erifier que f part `a l’infini en l’infini. Montrer `a l’aide des questions pr´ec´edentes quef(R³) est ferm´ee dansR³.

ii) Montrer quef est unC¹-diff´eomorphisme local au voisinage de tout point deR³et quef(R³) est un ouvert deR³. En d´eduire quef est surjective.

iii) Prouver que f est injective.

(Indication : On pourra montrer que si2a+ sinb= 2a⁰+ sinb⁰, alors2|a−a⁰| ≤ |b−b⁰|en utilisant l’in´egalit´e des accroissements finis).

iv) Montrer quef :R³→R³ est unC¹-diff´eomorphisme.

Exercice 3 (4 points)

SoitE=C([0; 1],R) l’espace des fonctions continues de [0; 1] dansR, muni de la normek · k_∞ :kfk_∞= Max_t∈[0;1]|f(t)|. Soit

A=

f ∈E

f(0) = 0 et Z 1

0

f(t) dt≥1

. a) V´erifier queA6=∅.

b) Montrer queAest une partie ferm´ee deE.

c) On posem:= inf{kfk∞ |f ∈A}.

i) Soitf ∈A. Montrer qu’il existeδ∈]0; 1[ tel que∀t∈[0;δ], |f(t)|< ¹₂, et qu’on a alors l’in´egalit´e 1≤¹₂δ+kfk∞(1−δ). En d´eduire quekfk∞>1.

ii) D´eterminerm.Indication : On pourra introduire les fonctions fn donn´ees par

f_n(t) =

((n+ 1)t si 0≤t <1/n 1 + 1/n si 1/n≤t≤1 .

d) Calculer dist(0_E, A), o`u 0_E d´esigne la fonction constante nulle. Est-ce queAest compact ?

Exercice 4 (2 points)

Sif :Rⁿ→Rest une application diff´erentiable surRⁿ, on l’appelle(une fonction) convexe surU si pour tousx, y∈Rⁿ on a

f(x) +Df(x)·(y−x)≤f(y).

a) Soitf :Rⁿ→Rune application diff´erentiable et convexe surRⁿ. Soita∈Rⁿ un point critique def. Montrer queaest un minimum global def.

b) Soit f :Rⁿ →Rune application de classeC². Montrer que sif est convexe surRⁿ, alors pour tous x, h∈Rⁿ on aD²f(x)(h, h)≥0.

(Indication : On fixera x∈Rⁿ et h∈ Rⁿ\ {0} arbitraires. On pourra alors ´ecrire le d´eveloppement limit´e d’ordre 2 def en x (formule de Taylor–Young) pour exprimer f(x+th)−f(x) (avec t 6= 0 r´eel), et conclure. Les ´etapes de la d´emarche sugg´er´ee sont `a justifier).

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